ьство выполнено на основании применения теоремы Курата Гёделя о неполноте, использован системный подход.
Рассмотрено физическое обоснование вывода уравнений Навье-Стокса, физические процессы течения турбуленоного потока. Для сопоставления и применения теоремы Гёделя двум указанным физическим процессам назначен уровень системы.
Показано, что уравнения Навье-Стокса не предназначены для решения проблем системы, соответсвующей уровню пространства R3.
Проблема решения уравнений Навье-Стокса
Уравнения Навье-Стокса, как показано в работе [1,с.73] Л.Н. Ландау, получаются записью баланса поступающей и выходящей жидкости с учетом диссипации энергии при вязком трении в жидкости. Вместе с тем, Л.Д. Ландау было отмечено, что впервые формулировка уравнений для несжимаемой жидкости была записана на основе модельных представлений Анри Навье (о молекулярных взаимодействиях).
Запишем уравнение Навье-Стокса для сжимаемой жидкости:
Для сжимаемой жидкости в уравнении
Обозначения в уравнении и его вывод – см. работу Л.Н. Ландау [1].
А.Н. Колмогоров в работе [2,с.294] показал физическую модель турбулентности (в соответствии с Тейлором и Ричардсоном), состоящую В накладывании различных по масштабу турбулентных пульсаций на осредененный поток. Наибольшим масштабом является мастшаб L «пути перемешивания», наименьшим масштабом является масштаю λ, на котором вязкость оказывает влияение. Пульсации от курупных масштабов передают энергию пульсациям меньших масштабов. В результате этого возникает поток энергии, диссипация которой происходит за счет сил вязкого торения на масштабе λ. Колмогоров предложил следующие уравнения турбулентного движения исходя из локальных свойств турбулентности [2,с.295]:
В уравнениях – обозначения согласно цитируемой работе А.Н. Колмогорова.
Л.Д. Ландау отметил [2,с.296], что эти уравнения верны для локальной струкруты турбулентности, однако в турбулентном потоке наличие ротора скорости ограничивается конечной обдастью пространства и уравнения должны показывать именно такое распределение турбулентных вихрей.
Анри Навье в работе [3] при формулировке уравнений движения жидкости исходил из записи для одной точки пространства сплошной среды. Приведем рисунок из работы Анри Навье [5,с.408], который является иллюстрацией к подходу Навье к описанию движения жидкости перемещением отдельных точек жидкости:
Сравним модель движения из работы А.Навье с моделью турбулентности, предложенной А.Н. Колмогоровым.
Объем, для которого составляются уравнения Навье-Стокса выбран с минимальными размерами, обеспечивающими сплошность среды. Однако это не принципиально. Очевидно, что куб несопоставимо меньше пространства R3.
Для куба описание физического процесса состоит в описании поступления в него и выхода из него жидкости, а также влияния вязкости.
Для пространства R3 со сложной структурой турбулентного течения физический процесс намного более сложен и для его описания недостаточно тех описаний, которые применены для куба при выводе уравнений Навье-Стокса!
В существующих попытках решения уравнений Навье-Стокса пространство R3 условно разбивают (дискретизируют) сеткой с кубичиескими элементами.
Попытки аналитического решения, например, в работе [4], сводятся к назначению граничных условий для уравнений и поиску решений.
Граничные условия для куба со сторонами x, y, x и шагом Q записываютcя в виде:
Очевидно, что движение жидкости в пространстве R3 и в любом пространстве, моделью Навье и его представлениями не описывается. Область вокруг точки не превышает колмогоровского масштаба.
Уравнения Навье-Стокса сооставлены для физической модели мелкого колмогоровского масштаба и не соответсвуют физическим процессам турбулентного движения больших объемов жидкости.
В случае аналитически точного решений Уравнений Навье-Стокса для случая течения Пуазёйля, решение выполняется для физического процесса, описываемого процесс для куба.
Существут методы прямого численного решения уравнений Навье-Стокса [5], [6], [7].
В этих методах (конечно-разностных) выполняется дискретизация пространства сеткой. Производная заменяется на алгебраическое отношение.
Очевидно, что в численных методах для пространства R3 решаются уравнения Навье-Стокса, не описывающие физического процесса на пространстве R3. Однако, результаты решений для каждого сеточного куба переносятся для интегрального решения для всей сетки, т.е. для пространства R3.
Для
