Considerando que F (K,N) es lineal y homogénea (HL), esta puede expresarse en términos per capita, en el sentido de “por unidad de trabajo” (véase Allen, 1971) como ya se hizo antes. Por supuesto, lo que sigue es un ejercicio solamente, porque ya se ha analizado la complicación de operar con la tasa de beneficios cuando las funciones son HL.
Por otra parte, cuando la función es efectivamente lineal y homogénea (véase Antonelli, 2013, libro III), PQ equivale a los costos de los factores, con lo que ρ como surplus es cero.
La expresión para la función de producción explicitando los factores trabajo y capital, dividiendo por N, resulta entonces q = f(k) donde el producto per capita y el capital per capita se definen, respectivamente, como:
Aquí, como se ha ya reiterado, la expresión per capita significa por unidad de trabajo; por lo tanto, la expresión anterior para la tasa de beneficios, queda ahora como:
Si las empresas consideran que la incorporación de más bienes de capital per capita —que es precisamente en lo que consiste el proceso de acumulación— es el mecanismo que les permitiría aumentar la tasa de ganancias, cuando lo hacen, se tiene, considerando que todos los precios son constantes y derivando la tasa de beneficios con respecto al capital por unidad de trabajador ocupado:
Simplificando k y teniendo en cuenta las definiciones previas:
Esta última expresión es la ya conocida de la TNC que propone que PMgK, o, estrictamente en este caso, la productividad marginal del capital, multiplicada por el cociente de precios relativos, debe ser igual a la tasa de beneficios. Para saber si este resultado constituye un máximo o un mínimo, hay que analizar el signo de la derivada segunda. Derivando nuevamente:
Que puede escribirse como:
El primer término del segundo miembro de esta expresión es cero por hipótesis (la condición necesaria para un máximo); el segundo término del segundo miembro es el producto de un valor positivo (la inversa de k) por un término negativo y otro que se propone nulo; por lo tanto:
La última expresión se verifica por la hipótesis de rendimientos decrecientes, siendo además:
La derivada de la tasa de beneficios con respecto a k es nula por la primera condición que así lo exige, tal cual se ha desarrollado anteriormente. Por lo expuesto, la tasa de ganancias alcanza un máximo y no un mínimo cuando los empresarios incorporan más capital a la economía, bajo los supuestos establecidos.
La maximización de los beneficios unitarios
Como se ha propuesto también en otras oportunidades (Antonelli, 2013), la tasa de beneficios definida como los beneficios por unidad de capital empleado, al igual que la tasa de salario real, no es una variable exógena sino endógena porque no puede proponerse a priori, además de que, por cuestiones operativas, su cálculo requiere un relevamiento exhaustivo de ingresos y costos, o sea, calcular los balances de las empresas, con lo que, por eso mismo, no está de antemano bajo el control directo de los empresarios y mucho menos es operativa para calcular los precios.
Sin embargo, el margen de beneficios, ν, definido como el total de beneficios sobre el valor del producto, sí lo está, al menos cuando las empresas disponen de cierto poder de mercado, al calcularse con la sola información del precio y el costo unitario.
Con respecto a los beneficios, si bien es cierto que lo que buscan las empresas es hacer máximos los totales, no es menos cierto que ellas no pueden establecerlos ex ante, o no siempre ni fácilmente, porque en general no conocen la curva de demanda al ser esta en algunos casos muy volátil, y aunque las empresas estimen —y logren acertar— puntualmente la elasticidad de la demanda, esta no es constante por lo general. De manera consecuente, las empresas probablemente se proponen también —o alternativamente— maximizar sus beneficios unitarios, siempre que su logro no conduzca a una reducción de los totales, para lo que se tiene el siguiente esquema de análisis, considerando que las empresas operan sobre su tramo creciente de la curva de costos medios:
Donde
Siendo:
Reemplazando:
Derivando ahora ambos miembros con respecto a P, se obtiene lo siguiente:
En la última expresión, la derivada que aparece en primer lugar en el segundo término del segundo miembro es:
Operando:
Reemplazando en el segundo miembro de la derivada de vP con respecto a P:
Operando en el primer miembro para expresar en función de elasticidades:
En el óptimo, ambos miembros deben ser cero, lo que significa, en el caso del primero, que:
Y por lo tanto:
Esto significa que, cuando se alcanza el óptimo, cualquier aumento porcentual en los precios reduce en el mismo porcentaje el margen de ganancias.
