der Wert 0. Die Spalte „Spiele“ ist z.B. eine nonnegative Ganzzahl; es gibt theoretisch einen Platz 0 (einen negativen Wert gibt es in dieser Spalte nicht). Dasselbe gilt für die Spalten „S“, „U“, und „N“ (jeweils für Sieg, Unentschieden oder Niederlage): Mannschaften können (zumindest für eine Weile) keine Siege, Unentschieden oder auch Niederlagen erleben. Die Spalte „Tore“ enthält, von einem Doppelpunkt getrennt, die Anzahl der geschossenen bzw. kassierten Tore. Wir überspringen der Einfachheit halber diese Spalte und schauen uns die abgeleitete Spalte „Diff“ an, die Differenz aus den geschossenen bzw. kassierten Toren. Die Abschlusstabelle der Bundesligasaison 2011/2012 zeigt in der Spalte „Diff“ positive wie auch negative Werte. Theoretisch ist damit auch eine Differenz von 0 möglich; „Diff“ enthält daher Daten vom Typ Ganzzahlen. Die verbleibende Spalte „Pkt“ ist vom Typ her eine nonnegative Ganzzahl; es kann theoretisch Mannschaften geben, die eine Zeitlang nur verlieren und keine Punkte mitnehmen. An dieser Stelle klammern wir der Einfachheit halber Spezialregelungen aus, wie z.B. Punktabzüge. Unser Ziel ist das Erklären der Grundlagen der deskriptiven Statistik (und weniger des professionellen Fußballs als Wissenschaft, vgl. z.B. Jütting, 2004). Je nach Umständen können Punktabzüge als drastische Sanktionsmaßnahme durchaus zu negativen Punkteständen führen.
Bruchzahl
Eine Bruchzahl ist eine Zahl, deren Quotient Q = p / q einen Rest ungleich 0 aufweist. Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn p = 0 und q ≠ 0. Solange die Länge der Nachkommastellen nicht unendlich oder nichtperiodisch ist, werden diese Bruchzahlen zu den rationalen Zahlen gezählt. Besitzt der Quotient Q = p / q einen Rest mit unendlichen (z.B. bei der Eulerschen Zahl, e oder Pi, µ) oder periodischen (z.B. 2/3 = 0,67) Nachkommastellen, so wird diese Bruchzahl zu den sog. irrationalen Zahlen gezählt. Ein Bruch wird in der sog. Inline-Schreibweise z.B. als Q = p / q, klassisch dagegen als
Die Tabelle zur Bundesligasaison 2011/2012 enthält ausschließlich Ganzzahlen. Bruchzahlen im Zusammenhang mit Bundesligaspielen findet man häufig im Zusammenhang mit Performanzstatistiken, z.B. zur Torgefährlichkeit, Passgenauigkeit, Zweikampfstärke usw. Aus der Bundesligatabelle lassen sich allerdings unkompliziert beispielhafte Bruchzahlen herleiten. Werden z.B. für Borussia Dortmund die durchschnittliche Anzahl der geschossenen Tore pro Spiel ermittelt, so ergibt sich über
■ Q = 80 / 34 als Bruchzahl
■ der Wert 2,353 (gekürzt),
■ 2,35294117647059 (weniger gekürzt) bzw.
■ 2,352941176470588235294117647059 (noch weniger gekürzt).
Solche scheinbaren „Präzisions exzesse“ können im Analysealltag durchaus ein Thema sein. Daher gleich ein paar Hinweise dazu:
Bei Brüchen werden die Konzepte von Genauigkeit und Präzision relevant. Die Genauigkeit (accuracy) einer Zahl ist durch die Anzahl von signifikanten Ziffern rechts von der Dezimalinterpunktion definiert. Die Präzision (precision) einer Zahl ist durch die Anzahl von signifikanten Ziffern insgesamt definiert. Bei der Addition bzw. Subtraktion wird die Anzahl der signifikanten Ziffern im Ergebnis durch den Wert mit der kleinsten Anzahl an signifikanten Ziffern bestimmt.
Die Summe aus 1,2 + 1,24 + 1,248 ergibt theoretisch im Ergebnis den Wert 3,688. Dieser Wert ist jedoch scheinbar auf vier Stellen genau. Aufgrund der kleinsten Anzahl an signifikanten Ziffern beschränkt der Wert 1,2 die Anzahl von signifikanten Ziffern im Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma. Die Summe 1,2 + 1,24 + 1,248 sollte daher nur auf eine Stelle nach dem Komma gerundet als 3,7 ausgedrückt werden. Bei der Multiplikation und Division gilt Ähnliches. Die Genauigkeit des Produkts aus zwei oder mehr Zahlen hängt von der Anzahl signifikanter Ziffern rechts von der Dezimalinterpunktion im kleinsten Wert ab. Das Produkt aus 1,2 x 1,24 sollte daher auf eine Stelle nach dem Komma gerundet als 1,5 und nicht als 1, 488 angegeben werden.
Zu den Ziffern nach dem Interpunktionszeichen bei numerischen Werten sollte vielleicht noch ergänzend gesagt werden, dass mittels sog. Formate eingestellt werden kann, mit wie vielen Nachkommastellen die Zahlen angezeigt werden sollen. Standardmäßig werden Zahlen von -9999,99 bis 99999,99 dargestellt. Die Einstellung der Anzahl von Dezimalzellen bezieht sich dabei nur auf die Anzeige. Numerische Werte werden von der Software so präzise wie möglich, mit derzeit bis zu 32 Nachkommastellen, gespeichert.
Ziffern
Im letzten Abschnitt zu Bruchzahlen war von Ziffern die Rede. Was sind Ziffern? Ziffern stellen Zahlen dar. Die Dezimalziffern 1, 4 und 8 stellen z.B. zusammen die Zahl 1,488 aus dem vorangehenden Abschnitt dar. Die Ziffern 1, 4 und 8 wurden deshalb präzisierend als Dezimalziffern bezeichnet, weil sie und die im Beispiel beschriebene Zahl aus dem Dezimalsystem (Zehnersystem) stammen. Dieses Zahlensystem heißt Dezimalsystem, weil es zehn Ziffern (0 bis 9) umfasst bzw. die Zahl 10 zur Basis hat. Dieselbe Zahl kann, weil es neben dem Dezimalsystem weitere Zahlensysteme gibt, durchaus durch verschiedene Ziffern dargestellt werden. Die Bundesligatabelle ist, mit Ausnahme des Alphabets (für die Vereinsnamen), ausschließlich im Dezimalsystem. Wir werden daher auf andere Beispiele ausweichen müssen. Die folgende Tabelle stellt bspw. die Ziffernfolgen „1000“ und „10“ in ausgewählten Zahlensystemen dar (Dezimal, Hexadezimal, Dual-Binär, Wissenschaftliche Notation, Römisch). Darüber hinaus gibt es diverse weitere Zahlensysteme, z.B. Oktal.
Darstellung der Ziffernfolge „1000“ und „10“ in verschiedenen Zahlensystemen:
| Zahlensystem | „1000“ | „10“ |
| Dezimal | 1000 | 10 |
| Hexadezimal (ASCII) | 3E8 | A |
| Dual-Binär | 1111101000 | 1010 |
| Wissenschaftliche Notation | 1,00E+03 | 1,00E+01 |
| Römisch | M | X |
Umgekehrt stellen dieselben Ziffernfolgen in verschiedenen Zahlensystemen meist verschiedene Zahlen dar. „1000“ im dual-binären System bedeutet z.B. 8 im Dezimalsystem. Im Zweifel lohnt es sich nachzufragen, in welchem Zahlensystem die Daten abgelegt sind. Dass Daten ausschließlich im Dezimalsystem abgelegt sind, ist nicht selbstverständlich, z.B. in der Informatik. (Lateinische) Buchstaben können demnach durchaus auch für Zahlen im Dezimalsystem stehen.
Was sind nun Buchstaben? Mehrere Buchstaben (oder auch nur einer) stellen Texte (allgemeiner: Zeichen, Codes) dar, um Bedeutungen bzw. Information zu vermitteln. Die Gesamtheit aller Buchstaben bildet wiederum ein Alphabet einer Sprache; eine Menge an Buchstaben bildet (in zunehmender Länge geordnet) Zeichen, Zeichenketten oder auch Texte. Mehrere Zeichen können Zeichenketten bilden, mehrere Zeichenketten wiederum Texte. Der Einfachheit halber wird in diesem Buch der Begriff „String“ für einzelne oder mehrere Zeichen, also für Zeichen oder Zeichenketten verwendet. Wie an den Zeichen im Hexadezimalsystem zu erkennen, können Strings ausschließlich aus Buchstaben bestehen, z.B. der Code „A“ für 10 oder auch aus Buchstaben mit Ziffern gemischten Zeichenfolgen bestehen, z.B. „3E8“ für 1000. Strings können i. Allg. annähernd beliebige Zeichen (einschließlich Zahlen) enthalten. Groß- und Kleinbuchstaben („X“ vs. „x“) werden dabei als verschiedene Buchstaben interpretiert, was bei bestimmten Operationen, z.B. dem Sortieren, dazu führen kann, dass Groß- und Kleinbuchstaben unterschiedlich verarbeitet werden.
