Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин
Чтение книги онлайн.
Читать онлайн книгу Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I - Денис Владимирович Соломатин страница 16
При линеаризации для определения стабильности очень важно сосредоточиться на равновесии. Даже не пытайтесь определить является ли точка стабильным или нестабильным равновесием, пока не убедитесь в том, что это точка является равновесием в принципе. Последующий анализ предполагает, что точка
удовлетворяет равенству . Например, если бы попытались линеаризовать для в предыдущем примере, то не смогли бы ничего сделать, потому что 11 не является точкой равновесия.Наконец, также важно, что проведённый анализ стабильного и неустойчивого равновесия, был локальным, а не глобальным. Эта устоявшаяся терминология означает, что рассмотрели лишь то, что происходит в очень небольших окрестностях вокруг точки равновесия. Хотя устойчивое равновесие будет притягивать все близлежащие значения, это не означает, что значения расположенные далекого тоже должны стремиться именно к нему. Точно так же, как несмотря на то нестабильность равновесие, нельзя утверждать, что далёкие от него значения не будут к нему стремиться или не окажутся вовсе ему равными.
Далее рассмотрим такие явления в динамическом моделировании как колебания, бифуркации и хаос. В задаче 1.2.4 предыдущего раздела исследовалось динамическое поведение логистической модели
для K = 10 при множестве значений r. На самом деле, параметр в модели не очень важен; можно выбрать единицы, в которых измеряется численность популяции так, чтобы пропускная способность стала равна 1. Например, если пропускная способность составляет 10 000 штук, то можно использовать масштабную единицу равную 10 000, и тогда получится . Это наблюдение позволяет подробно сосредоточиться на том, как параметр влияет на поведение модели.Зафиксировав
, для любого значения логистическая модель имеет два равновесных значения, 0 и 1, так как это единственные значения , которые приводят к . Как увидите в ходе решения задач чуть позже, «коэффициент растяжения» при будет равен всегда является неустойчивым равновесием для .Случай
гораздо интереснее. Во-первых, когда . Формула показывает, что знак при этом никогда не изменится; хотя отклонение уменьшается, первоначально положительное отклонение остается положительным, а изначально отрицательное – отрицательным. Популяция просто движется к равновесию, никогда не превышая его.Далее, когда
увеличивается настолько, что , то