Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

Скачать книгу

«хаос» в действительности имеет довольно точное техническое определение, но не будем его приводить. Вместо этого просто неформально укажем на два требования, которые математики предъявляют к употреблению этого слова: 1) модель должна быть детерминированной, то есть в ней не может быть случайности; и 2) прогнозы модели чрезвычайно чувствительны к начальным условиям.

      Чтобы увидеть, как именно дискретная логистическая модель проявляет свою хаотичность, например, зафиксировав

, достаточно проиллюстрировать проявление второго требования. На рисунке 1.7 показаны значения , которые возникают из двух разных, но достаточно близких друг к другу значений  и .

       

      Рисунок 1.7 Результаты роста значения

, полученные из двух близких начальных значениях  для логистической модели  при .

      Обратите внимание на тот факт, что, хотя популяции и изменяются похожим образом в течение нескольких первых шагов, после этого они становятся полностью различимыми. В результате для такой пары значений наблюдается чрезвычайная чувствительность модели к начальным условиям. Конечно, это не является доказательством чего-либо, и вполне возможно, что такое поведение было просто последствием череды ошибок компьютерного округления. Однако математиками строго доказано, что это подлинный «хаос».

      Возможность хаотического поведения в такой простой популяционной модели, как дискретная логистическая, вызвала большой ажиотаж в 1970-х годах, когда она была впервые опубликована в работе Мэй от 1978 года. Если бы такая простая модель смогла воспроизводить сложное поведение любой динамической системы, то от гипотезы о том, что сложная динамическая система может возникать лишь из сложных взаимодействий и флуктуаций окружающей среды пришлось бы отказаться. Дальнейшая работа Мэй с сотоварищами по вычислению соответствующих значений таких параметров, как

, в математических моделях на основании лабораторных и реальных популяциях насекомых заставила их усомниться в том, что хаотическое поведение действительно наблюдается в реальной динамике живых популяций. Тем не менее, исследование эпидемий кори в Нью-Йорке действительно предполагало возможность контролируемого хаоса. Однако эпидемический паротит и ветряная оспа, как оказалось, вели себя отнюдь не хаотично. Хотя та работа все еще не теряет актуальности, существует очень мало данных высокого качества и достаточно длительной продолжительности, чтобы в действительности проверить ключевую идею. В последнее время основное внимание уделялось демографическим моделям, более сложным, чем логистические. Фактически, в 1996 году Кушинг и др. объявили о первом открытии реальной популяции, лабораторной популяции мучного жука триболия, которая демонстрировала хаотическую динамику и опубликовали этот результат в 2001 году.

      Задачи для самостоятельного решения:

      1.3.1. Точки

Скачать книгу