со временем находят подтверждение, хотя так происходит не всегда. А в случае теоремы Ферма слово «теорема» употребляется (или, точнее, употреблялось) неверно – у теоремы обязательно должно быть доказательство, а его-то, пока не появился Уайлс, и не хватало.
Доказательство – вот то, чего требуют великие задачи и что делает их такими сложными. Любой человек, обладающий определенными знаниями, способен провести несколько вычислений, заметить явную закономерность и кратко сформулировать ее суть. Но математики требуют большего: они настаивают на полном, логически безупречном доказательстве. Или, если гипотеза не подтверждается, на столь же полном опровержении. Вообще же невозможно оценить всю чарующую привлекательность великой задачи, не понимая до конца жизненно важную роль доказательства в любом математическом предприятии. Обоснованное предположение может сделать кто угодно, трудно лишь доказать его истинность. Или ложность.
Концепция математического доказательства менялась с течением времени, причем требования к логике, как правило, становились все строже. Многочисленные высокоинтеллектуальные философские дискуссии о природе доказательства поднимали важные вопросы. Предлагались и внедрялись точные определения понятия «доказательство». Сегодня мы учим студентов, что доказательство начинается с набора некоторых явных допущений, известных как аксиомы. Аксиомы – это, так сказать, правила игры. В принципе возможны и другие аксиомы, но они относятся к другим играм. Первым такой подход предложил древнегреческий математик Евклид, но и сегодня он вполне применим. Доказательство на основе принятых аксиом представляет собой серию шагов, каждый из которых является логическим следствием либо аксиом, либо уже доказанных утверждений, либо того и другого. По существу, математика исследует логический лабиринт, перекрестками в котором служат утверждения, а проходами – достоверные умозаключения. Доказательство – путь через лабиринт, который начинается с аксиом. Утверждение, на котором он заканчивается, и есть то, что требовалось доказать.
Однако такое правильное и «причесанное» представление о доказательстве – еще не вся история и даже не самая главная ее часть. Это все равно что сказать: симфония – последовательность музыкальных нот, которая подчиняется законам гармонии. Определение верно, но где же творчество? Такое определение ничего не говорит нам не только о том, как искать доказательство, но и о том, как проверить его, когда оно предложено кем-то другим. Это определение ничего не говорит нам о том, какие места в лабиринте важнее других. Не говорит и о том, какие проходы в нем элегантны, а какие безобразны, какие значительны, а какие бесполезны. Это всего лишь формальное, механическое описание процесса, у которого немало и других аспектов, в частности человеческое измерение. Доказательства ищут люди, и математические
