по грани кубика и завершающую треугольник, образованный вместе с двумя ребрами одинаковой длины. Каково отношение длины этой диагонали к длинам более коротких сторон треугольника?
Как гласит теорема Пифагора о прямоугольном треугольнике, квадрат длины такой диагонали (гипотенузы) равен сумме квадратов длин двух коротких сторон (катетов). Если считать длину ребра кубика равной 1, то, по теореме Пифагора, длина диагонали грани такого кубика равна числу, квадрат которого равен 2. Что же это за число?
Задача вычисления этой длины увлекала еще вавилонян. Оценку этой длины можно найти на хранящейся в Йельском университете табличке, которую датируют старовавилонским периодом (1800–1600 гг. до н. э.). Используя шестидесятеричную систему (т. е. систему счисления по основанию 60), вавилоняне получили следующий результат:
которому при десятичной записи соответствует число 1,41421296296…, причем группа «296» повторяется до бесконечности. Собственно, любая дробь, будучи записана в десятичной системе, с какого-то момента начинает повторяться. Это вавилонское вычисление было замечательным достижением. Оно соответствует точному результату до шестого знака после запятой. Однако квадрат этой дроби оказывается чуть меньше 2. Открытие древних греков состояло в том, что, как бы ни старались вавилонские писцы, их дроби, возведенные в квадрат, никогда не могли быть точно равны 2.
Открытие неизбежности такой неудачи вавилонских математиков приписывают одному из последователей Пифагора по имени Гиппас. Он доказал, что длина диагонали грани моей игральной кости в принципе не может быть выражена в виде дроби.
Из теоремы Пифагора о прямоугольном треугольнике следует, что длина гипотенузы равна произведению длины катета на квадратный корень из 2. Но Гиппас смог доказать, что дроби, квадрат которой был бы точно равен 2, не существует. Доказательство использует один из классических приемов, имеющихся в арсенале математика, – доказательство от противного. Гиппас предположил сначала, что существует такая дробь, квадрат которой равен 2. При помощи некоторых ловких преобразований можно показать, что из этой посылки всегда следует противоречивый вывод о существовании числа одновременно четного и нечетного. Единственный способ разрешения этого противоречия состоит в признании ложности исходного предположения: существование дроби, квадрат которой был бы равен 2, невозможно.
Говорят, что его товарищи-пифагорейцы были приведены в смятение вестью о том, что их прекрасные прямоугольные треугольники могут порождать такие негармоничные длины. Члены секты поклялись молчать об этом, но, когда Гиппас обнародовал свои результаты, его, как рассказывают, утопили в море за разглашение факта существования в физическом мире подобной дисгармонии. Однако заткнуть рот этим новым числам, называемым иррациональными, поскольку они не являются отношениями целых чисел[34], было сложнее.
Латинское слово
