находится k-тая масса, создающая гравитационное поле, является гармонической функцией. Во всех точках х, у, z, для которых rk, функция 1/rk удовлетворяет уравнению Лапласа (1.5).
Следовательно, потенциал Φk гравитационного поля одной материальной точки удовлетворяет уравнению (1.6).
Уравнение Лапласа является линейным уравнением. Потенциал гравитационного поля Φ (х, у, z), создаваемого непрерывным распределением масс по некоторому объему V, на основании (1.3) можно написать в виде (1.7), где ρdV=dm, ρ– плотность распределения массы элемента объема dV, dm-прирост массы.
Эта функция Φ (х, у, r) удовлетворяет уравнению Лапласа Φ (х, у, r) = 0 в точках, где нет масс.
Уравнение Лапласа для Φ равносильно уравнениям (1.8).
Можно показать при весьма общих практически приемлемых допущениях относительно распределения плотности ρ, что потенциал Φ гравитационного поля (1.7) для точек х, у, z, расположенных внутри V, удовлетворяет уравнению Пуассона (1.9).
Уравнение (1.9) равносильно уравнениям (1.10).
Практически приходится обычно иметь дело со слабыми гравитационными полями, для которых уравнения поля линейны. Для таких полей в первом приближении справедлив принцип суперпозиции. Волновое уравнение слабого гравитационного поля можно получить, если добавить вторую производную по времени в уравнение (1.9), превратив уравнение Пауссона в уравнение Д"Аламбера.
Математическая модель акустического поля
Акустика – область физики, исследующая упругие колебания и волны, их взаимодействие с веществом и применение.
Во всех средах (жидких, газообразных и твердых) распространение упругих волн происходит так: частицы среды в волне приобретают скорость, деформируются, и в них возникают упругие напряжения, которые и передают волну дальше.
Акустика жидкостей и газов рассматривается на основе гидродинамики, где возмущения передаются силами давления, которые возникают при сжатии и расширении частиц. В твердых телах возникают еще и поля (сдвиговые) упругих напряжений.
Математическая модель акустического поля представлена полной системой уравнений акустики, которая состоит из уравнений движении, уравнения непрерывности и уравнения состояния. Уравнения акустики кратко можно характеризовать так. [3].
Уравнения Эйлера – уравнения движения частиц под действием сил упругости среды. Рассмотрим частицу среды малого объема, ограниченную поверхностью. Так как частица мала, а характеристики среды непрерывны, можем считать плотность по всей среде постоянной, массу частицы приравнять произведению плотности на объем. Далее, полагая, что вся частица движется как одно целое, найти ее ускорение как производную dv/dt ее скорости v по времени t. Рассмотрим давление p и сторонние cилы F а. ст, действующие на частицу со стороны окружающей среды, – силы давления.
Применяя к частице, находящейся
