Римановы пространства. Распознавание формул (структур) римановых многообразий нейронной сетью. Людмила Наумова

      В 1854 году в Геттингене Риман прочитал знаменитую лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», где дал расширенное понятие пространства. Эта лекция была вестником в формировании будущей теории относительности Эйнштейна в физике. Проникая в глубину мысли Римана и развивая ее, автор логически констатирует следующее: римановых многообразий в широком смысле, в понятии которому придавал сам Риман, бесчисленное множество и они существуют в реальном мире. Остается осмыслить, и принять тот факт их существования в реальном мире. Как доказательство существования римановых пространств в реальности, автор показывает, как на наших глазах, в 21-м веке искусственные нейронные сети уже выявляет структуру римановых многообразий (многообразий в расширенном понятии, как представлял Риман). Наше геометрическое метрическое пространство – это частный случай римановых многообразий. Математики открывают пока в математических символах новые пространства, не имеющие ничего общего с реальностью. Но реальные пространства, их структура (формула) выявляются в символике языков программирования нейронными сетями.

      РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ. ШИРОКОЕ ПОНЯТИЕ ПРОСТРАНСТВА

      Вообще, геометрия предполагает заданными заранее как понятие пространства, так и первые основные понятия, которые необходимы для выполнения пространственных построений. Она дает номинальные определения понятий, тогда как существенные свойства определяемых объектов входят в форме аксиом. Но взаимоотношения понятий и аксиом может быть разными. Риман обратил внимание на общую концепцию многократно протяженных величин, к которым относятся и пространственные величины. Исходя из общего понятия о величине, Риман сконструировал понятие многократно протяженной величины. Многократно протяженной величине возможны различные мероопределения, и пространство есть не что иное, как ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ трижды протяженной величины. Риман предложил сконструировать пространство (по законам математики и логики) на основании общего понятия о величине (понятие величины много шире понятия пространственных величин). Есть величина массы, величина силы, величина скорости, величина температуры, величина времени и т. д. Что такое многократно протяженная величина? Классы многократно протяженных величин (пространств) различного типа, где единица измерения принадлежит к данному типу величин, вовсе не есть непременно единица длины, как в обычном пространстве. Поэтому в таких «сконструированных пространствах» возможны различные мероопределения, то есть различные законы построения и измерения фигур, т.е. возможна разная геометрия. Вот такое именно и есть пространство Римана в широком смысле этого слова. Свойства, которые выделяют такое риманово пространство из других мыслимых протяженных величин, могут быть почерпаны не иначе как из опыта. Мы должны выйти из мира, рамок плоского пространства. Математики открывают пока в математических символах новые пространства. Но реальная геометрия физического мира не выводится из общих свойств протяженных величин, напротив свойства, которые выделяет пространство из других мыслимых форм, могут почерпнуты не иначе как из опыта. Чистая математика никогда не сумеет сделать выбора и сказать каково оно истинное строение реального пространства. Лишь расчеты, полученные на реальных наблюдениях, могут дать результат. Мы расскажем как обученная нейронная сеть – это и есть тот расчет, который вычисляет римановы многообразия в широком смысле этого слова, нейронная сеть использует большие данные для определения структуры объекта (многообразия).

      МЕТРИКА РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ. ПУТЕМ РИМАНА И ЭЙНШТЕЙНА

      Эйнштейн использовал понятие протяженных величин в своей теории относительности. Его фишка в теории относительности это четырехмерный мир Минковского «континуум пространство-время», как раз распространение идей Римана расширенного понятия многообразий. Это многообразие Римана, где трехкратно протяженное пространство объединено с четвертой величиной – временем. Это пример четырехкратно протяженного многообразия с разными величинами (пространство и время), а значит и разными метриками. Эйнштейном, использовано многообразие с величинами разной метрики. А почему бы это не распространить, не обобщить и не пойти дальше? Почему бы не сконструировать многообразие сколь угодной многократной протяженностью (т.е. размерностью), где метрика у каждой протяженности (размерности) может быть разной? Ведь это тоже многократно протяженное пространство (многообразие) в широком смысле слова – это связанное множество по определенным характеристикам и характеристики – это измерения, которые имеют свою метрику. Тогда вопроса «а где в жизни, в реальном мире эти многообразия (пространства)?» больше нет. Они везде. Далее мы это вам покажем.