σzdAzsinα – σydAycosα – τzydAzcosα + τyzdAysinα = 0
Учитывая, что dAz = 1dy = dAcosα, dAy = 1dz = dAsinα, записанные отношения в результате тригонометрических преобразований примут вид:
σα = σzcos2α + σysin2α + τzy sin2α
Если совместить оси координат z, y c направлениями главных напряжений, то соотношения примут вид:
Из последнего уравнения следует, что при α = 45° касательные выражения принимают свои экстремальные значения в точке.
τmax = ½(σz – σy)
Частный случай плоского напряженного состояния: при σx = σy τα =0, на всех проведенных через точку площадках касательные напряжения равны нулю, т. е. все площадки – главные с нормальными напряжениями σα = σy = σz = σ. Примером такого состояния может служить стенка воздушного шара, находящаяся под давлением.
При σx = – σy = σ на грани элемента действуют численно равные сжимающие и растягивающие напряжения. Экстремальные касательные напряжения равны главным, а нормальные напряжения равны нулю. Такой частный случай носит название чистого сдвига.
12. Графическое определение напряжений (круг Мора)
По известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.
Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:
σ = σxcos2α + σysin2α + τxsin2α
τ = (σx – σy)sin2α – τxcos2α
Преобразуем первое выражение:
σ = ½σx(1 + cos2α) + ½σy(1 – cos2α) + τxsin2α
После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:
τ = (σx – σy)sin2α – τxcos2α
Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:
Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами
Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.
