не может ее догнать. Черепаха всегда его опережает (рис. 10).
Рис. 10. Ахиллес и черепаха
Всем известно, что в реальном мире Ахиллес быстро пробежал бы мимо черепахи, однако рассуждения Зенона как будто доказывали, что он никогда ее не догонит. Философы – современники Зенона – не могли разрешить этот парадокс. Даже зная, что вывод неверен, они никак не могли найти ошибки в математическом доказательстве Зенона. Главным оружием философов была логика, но логическая дедукция представлялась бесполезной против доводов Зенона. Каждый шаг выглядел безупречным, но если все шаги правильны, как вывод может быть неверным?
Проблема поставила греков в тупик, однако они обнаружили источник неприятностей: это была бесконечность. В сердцевине парадокса Зенона кроется именно она: Зенон взял непрерывное движение и разделил его на бесконечное число крошечных шагов. Поскольку число шагов было бесконечным, греки сочли, что гонка будет длиться вечно, несмотря на то, что шаги становились все меньше и меньше. Гонка никогда не закончится в конечный отрезок времени – или так они думали. Древние не имели инструментария для того, чтобы справиться с бесконечностью, однако современные математики научились управляться с нею. Подходить к бесконечности нужно очень осторожно, но все же с ней можно совладать – с помощью ноля. Вооружившись математическими знаниями, полученными за две тысячи четыреста лет, нам нетрудно вернуться и найти ахиллесову пяту Зенона.
У греков не было ноля, но у нас он есть, и в нем заключается ключ к разрешению загадки Зенона. Иногда возможно объединить бесконечные элементы и получить конечный результат, но для этого слагаемые элементы должны стремиться к нолю[9]. Так и обстоит дело с Ахиллесом и черепахой. Когда вы складываете расстояния, которые пробегает Ахиллес, вы начинаете с числа 1, потом прибавляете 1/2 , потом 1/4 , потом 1/8 и так далее; элементы становятся все меньше и меньше, все больше приближаясь к нолю; каждый элемент есть шаг в путешествии, пунктом назначения которого является ноль. Впрочем, поскольку у греков не было ноля, они не могли понять, что это путешествие когда-нибудь кончится. Для них числа 1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 и так далее не вели к чему-то: пункт назначения не существовал. Вместо этого греки видели просто элементы, становившиеся все меньше и меньше, выходившие за пределы области чисел.
Современные математики знают, что эти элементы имеют предел: последовательность чисел 1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 и так далее приближается к нолю как к своему пределу, и путешествие имеет пункт назначения. Как только это признано, легко поинтересоваться, как далеко отстоит пункт назначения и сколько времени потребуется, чтобы до него добраться. Не так уж трудно сложить расстояния, которые пробегает Ахиллес: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…+ 1/2n +… Шаги, которые делает Ахиллес, становятся все меньше и меньше, все ближе и ближе
Это необходимое, но не достаточное условие. Если элементы стремятся к нолю слишком медленно, то их сумма не сходится к конечному числу.
