nuevamente pensamos en x tal que:
o mejor:
y, con ello:
y de esto vemos que el período podría ser r = 2.
Haremos ver que el período es exactamente 2.
En efecto, supongamos que el período es p con 0 < p < 2 y pensemos en x = 0, así f(0) = 0. Pues bien, se presentan los casos:
(1)0 < p ≤ 1 ⇒ f(0 + p) = p ≠ 0 = f(0) ,
(2)1 < p < 2 ⇒ f(0 + p) = |p − 2| ≠ 0 = f(0) .
Se concluye entonces que p = 2. Ahora pasamos a presentar en la figura 2.9 el gráfico de esta función periódica de período p = 2.
Fig. 2.9
Nota:
La periodicidad de una función (y similarmente con la paridad y la imparidad) permite estudiarla en un intervalo más restringido, pudiendo luego extender los resultados obtenidos a todo el dominio de la función. Esto haremos precisamente en el ejemplo que presentaremos a continuación.
Ejemplo 2.2.4 Dada la función real:
Se pide construir con ella el gráfico de g pero ahora con dominio R sabiendo que además de ser impar posee período 18.
Solución:
El gráfico de la función dada al comienzo del enunciado lo vemos en la figura 2.10.
Fig. 2.10
Fig. 2.11
Ahora, como debe ser impar procedemos a efectuar simetría en torno del origen al gráfico de la figura 6.10 resultando el dibujo de la figura 2.11 y observando esta última figura vemos que el gráfico tiene dominio [−9, 9] que justamente posee longitud 18, o sea, el período pedido. Por lo tanto, procedemos a iterar este gráfico obteniéndose la figura 2.12.
Fig. 2.12
Teorema 2.2.1 Para las funciones circulares se tiene que:
(1)y = cos x es par y periódica de período 2π.
(2)y = sen x es impar y periódica de período 2π.
(3)y = tg x es impar y periódica de período π.
(4)y = cot x es impar y periódica de período π.
(5)y = sec x es par y periódica de período 2π.
(6)y = cosec x es impar y periódica de período 2π.
2.3Gráficos de las funciones circulares
Tomando en cuenta los conceptos presentados en el párrafo anterior podemos dejar a cargo del lector el proceder a trazar los gráficos aproximados de las funciones circulares. Conseguirá los esbozos que presentaremos a continuación.
(1) Gráfico de y = cos x
Fig. 2.13
(2) Gráfico de y = sen x
Fig. 2.14
(3) Gráfico de y = tg x
Fig. 2.15
(4) Gráfico de y = cot x
Fig. 2.16
(5) Gráfico de y = sec x
Fig. 2.17
(6) Gráfico de y = cosec x
Fig. 2.18
2.4Algunas graficaciones
Ya conocemos el gráfico aproximado de la función y = sen x, que vemos nuevamente en la figura 6.19:
Fig. 2.19
Ahora deseamos encontrar el gráfico aproximado de la función y = Asen Bx, con A, B ∈ R+. A se denomina amplitud y es claro que el período de ella será
