Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

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1).

      (5) ∀n ∈ ∀m ∈ (s(n) = s(m) → n = m).

      (6) ∀n ∈ (n = 1 ∨ ∃m ∈ (s(m) = n)).

       Demostración:

      Sólo entregaremos la demostración de (3). Pues bien, sea A = {n ∈ | n > 0}, haremos ver que A es inductivo.

      En primer lugar, 1 ∈ A, pues sabemos que 1 > 0, esto es a causa de la axiomática de que (, +, ·, ≤) es campo ordenado. Por otra parte, sea n ∈ A, entonces n ∈ y n > 0, luego (n + 1) ∈ y como n + 1 > 1 > 0 se concluye que (n + 1) ∈ A.

      Por lo tanto, tenemos que A es inductivo, en consecuencia, resulta ⊆ A, o sea, ∀n ∈ (n > 0).

       Nota:

      El esquema que se utilizó en la demostración anterior es el siguiente:

      (1) Se construye el conjunto A = {n ∈ | n satisface la propiedad p}, lo que simbolizamos mediante A = {n ∈ | p(n)}.

      (2) Se demuestra que el conjunto A definido en (1) es inductivo, es decir:

      (2.1) 1 ∈ A, lo que es equivalente a demostrar que 1 tiene la propiedad p, es decir p(1).

      (2.2) n ∈ A s(n) ∈ A, o sea si n ∈ A, entonces p(n) → p(n + 1).

      (2.3) Se concluye que ⊆ A, o sea, ∀n ∈ (p(n).

      El esquema anterior es lo que se conoce como Primer principio de inducción matemática, este principio nos entrega un metodo para demostrar cualquier propiedad p(n) para todos los números naturales.

1.2 Principios de inducción

1.2.1 Primer principio de inducción

      El enunciado de este principio es el siguiente:

      Sea p(n) una formula en n, entonces:

      [p(1) ∧ ∀n ∈ (p(n) → p(n + 1))] → ∀n ∈ (p(n)).

       Nota:

      Tenemos:

      2 + 4 + 6 + ⋯ 2n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n),

      ahora bien, veremos en el problema resuelto [1.3.2] que:

      1 + 2 + 3 + ⋯ + n = ,

      con lo que:

      2 + 4 + 6 + ⋯ + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n) = 2 · = n(n + 1) = n² + n ≠ n² + n + 1,

      sin embargo, si consideramos la proposición falsa:

      2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n = n² + n + 1,

      como verdadera para n, sumando (2n + 2) a cada lado de ésta, se cumple que:

      2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n + (2n + 2) = n² + n + 1 + (2n + 2) =

      = n² + 2n + 1 + n + 1 + 1 = (n + 1)² + (n + 1) + 1,

      vemos que se satisface la hipótesis inductiva. No se puede tener la igualdad para un primer n, por ejemplo, para 1, 2, etc.

      Al no cumplirse para n = 1, 2, 3, · · · no podemos concluir que es falsa, pues podría ser verdadera por ejemplo para n = 2789341.

       Nota:

      El siguiente resultado es equivalente con el primer principio de inducción y proposición el metodo para resolver aquellos casos en que se desea demostrar inductivamente una propiedad p(n) no necesariamente para todo natural n, sino que para aquellos n mayores o iguales a algún natural a.

      Teorema 1.2.1 Sea n₀ ∈ , p(n) una fórmula que contiene a n, entonces:

      [p(n₀) ∧ ∀n ∈ ((n ≥ n₀ ∧ p(n) → p(n + 1))] → ∀n ∈ (n ≥ n₀) p(n).

       Demostración:

      Si n₀ = 1 se tiene el primer principio de induccion y el teorema es cierto. Consideremos, entonces para n₀ ∈ el conjunto:

      I₁ = {n ∈ | (n ≥ n₀ → p(n)} .

      Haremos ver que I₁ es un conjunto inductivo.

      En primer lugar, tenemos que 1 ∈ I₁ puesto que:

      (i) Si 1 ≥

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