Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

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      (ii) Si 1 n₀, entonces 1 ≥ n₀ → p(1) es verdad, porque el antecedente es falso, luego 1 ∈ I₁.

      Tomemos ahora n ∈ I₁, entonces n ∈ y n ≥ n₀ → p(n), luego tenemos que (n + 1) ∈ y se presentan dos casos:

      (i) Si n ≥ n₀, entonces n + 1 ≥ n₀ + 1, luego n ∈ I₁ y n ≥ n₀, entonces p(n) es verdad y, por la hipótesis del teorema, p(n + 1) es verdad, por lo tanto, (n + 1 ≥ n₀ → p(n + 1)). Luego (n + 1) ∈ I₁.

      (ii) Si n n₀ se tiene n < n₀ y, por lo tanto (n + 1) ≤ n₀; luego:

      (a) Si (n + 1) = n₀, entonces como p(n₀) es verdad por hipótesis se tendrá que (n + 1) ∈ I₁.

      (b) Si (n + 1) < n₀, entonces (n + 1 ≥ n₀ → p(n + 1) es verdad porque su antecedente es falso, por lo tanto, (n + 1) ∈ I₁.

      Hemos demostrado que I₁ es un conjunto inductivo con lo que ⊆ I₁, o sea ∀n ∈ (n ∈ I₁), o mejor ∀n ∈ (n ≥ n₀) p(n).

1.2.2 Segundo principio de inducción

      El enunciado de este principio es el siguiente:

      Sea p(n) una fórmula en n y n₀ ∈ , entonces:

      (i)

      [p(n₀) ∧ ∀n ∈ [(n > n₀) (p(n₀) ∧ p(n₀ + 1) ∧ · · · ∧ p(n)) → p(n + 1)]]

      ↓

      ∀n ∈ ((n > n₀) p(n)).

      (ii)

      [p(1) ∧ ∀n ∈ [(p(1) ∧ p(2) ∧ ··· ∧ p(n)) → p(n + 1)]] → ∀n ∈ ( p(n)).

       Nota:

      Es claro que (ii) es un caso particular de (i).

1.2.3 Otros conceptos

      A causa de lo que estudiaremos con posterioridad, es necesario entregar algunas definiciones inductivas; éstas son:

      Definición 1.2.1 Sea n ∈ se define la función factorial (!) del modo siguiente:

      1! = 1 ∧ (n + 1)! = n!(n + 1).

      Definición 1.2.2 Sea f : → , se define la sumatoria desde k = 1 hasta k = n de los f (k) del modo siguiente:

      Definición 1.2.3 Sea f : → , se define la productoria desde k = 1 hasta k = n de los f (k) del modo siguiente:

      Definición 1.2.4 Sea p ∈ diremos que p es un número primo si:

      ∀n ∈ ∀m ∈ (p = n · m → (n = 1 ∨ m = 1).

      Definición 1.2.5 Sean p, q ∈ diremos que p y q son primos relativos si:

      (∀r ∈ )(∀s ∈ )(∀t ∈ )[(p = r · s ∧ q = r · t) → (r = 1 ∨ r = −1)],

      es decir, si el MCD(p, q) = 1

      A continuación pasaremos a aplicar los principios de inducción resolviendo algunos problemas.

1.3 Problemas resueltos

      Problema 1.3.1 Para el natural fijo n, calcular la suma:

      S = 1 + 2 + 3 + ·· · + n.

       Solución:

      Se tiene:

      y sumando miembro a miembro estas dos igualdades, se obtiene:

      2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ·· · + (n + 1),

      o sea:

      2S =

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