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Problema 1.3.13 Demostrar que si n es impar, entonces 24 divide a:
n(n2 − 1)
Solución:
Para n = 1, que es impar
1(12 − 1) = 0
y 0 es divisible por 24.
Se supone para n = 2m − 1
(2m − 1)[(2m − 1)2 − 1]= 4m(2m − 1)(m − 1)es divisible por 24.
Se demuestra para n = 2m + 1 (2m + 1)[(2m + 1)2 − 1]= 4m(2m + 1)(m + 1) es divisible por 24.
Demostración:
Problema 1.3.14 Demostrar que:
Solución:
Para n = 1
Se supone para n
Se demuestra para n + 1
Demostración:
luego:
Problema 1.3.15 Demostrar que:
Solución:
Para n = 1
Se supone para n
Se demuestra para n + 1 que:
Demostración:
Pero:
(96n2 + 236n + 123) : (4n + 3) = 24n + 41 = 24(n + 1) + 17,
o sea:
(96n2 + 236n + 123) = (4n + 3) · (24(n + 1) + 17). (1.2)
De (1.1) y (1.2) se sigue el resultado, es decir:
Problema 1.3.16 Sea f :
f (1) = 7, f (2) = 17, para n ≥ 3 (f (n) = 5f(n − 1) − 6f(n − 2)),
demostrar que:
f(n) = 2n + 1 + 3n.
Solución:
Para resolver este problema utilizaremos el principio inductivo. Pues bien, tenemos que probar que f(n) = 2n + 1 + 3n para todo n ∈
f(1) = 21 + 1 + 31 = 22 + 3 = 4 + 3 = 7
f(2) = 22 + 1 + 32 = 23 + 32 = 8 + 9 = 17
o sea, resultan los valores dados por medio de la definición recursiva. Suponemos entonces que:
f(n) = 2n + 1 + 3n
para los naturales 1, 2, 3, 4, ... , n.
Deberemos establecer ahora que:
f(n + 1) = 2n + 2 + 3n + 1. (1.3)
En efecto, a causa de la definición recursiva tenemos que:
f(n + 1) = 5f(n) − 6f(n − 1) (1.4)
y como:
f(n) = 2n + 1 + 3n (1.5)
f(n − 1) = 2n + 3n−1. (1.6)
De (1.4), (1.5) y (1.6) resulta:
comparando (1.3) y (1.7) vemos que se obtiene lo pedido y por tanto:
∀ n ∈
Problema 1.3.17 Sea f :
demostrar que f(n) =
Solución:
Nuevamente utilizaremos el principio inductivo. Tenemos:
