… 10n… и так далее. Таким же образом устанавливается взаимно однозначное соответствие и между множеством натуральных чисел и множеством всех квадратов натуральных чисел 12, 22, 32, … n2… и так далее. Но принять такое отождествление нет никаких оснований.
Нужно просто обратить внимание на то, что же именно отождествляется. В обоих приведенных примера сразу же можно заметить присутствие члена натурального ряда. Понятно, что отождествляются не значения членов ряда, а их порядковые номера, которые самым наглядным образом обозначены в каждом из членов рядов. До начала отождествления каждый член ряда уже имеет свой натуральный порядковый номер, а значение самого члена ряда не имеет никакого смысла. Это могут быть и летучие обезьяны с соответствующей биркой на шее, и протоны в бесконечной Вселенной, которые ещё только предстоит пометить соответствующим номером, и даже множество миров Эверетта.
Группировка в пары. Попробуем теперь просто пересчитать, перенумеровать все натуральные числа, предварительно соединив их в пары четное-нечетное число: (1,2), (3,4), (5,6), то есть, присваивая каждой паре последовательно номера 1, 2, 3, 4 и так далее. Очевидно, что каждой паре будет присвоен один номер, натуральное число. И мы получаем явное противоречие, поскольку это означает, что количество всех натуральных чисел, собранных в пары, в два раза больше количества всех натуральных чисел. Буквально, количество всех натуральных чисел в два раза больше количества всех натуральных чисел. Но натуральные числа можно группировать и тройками, пятерками, десятками и так далее.
Десять рядов. Еще более наглядно подмена понятий будет видна, если составить из натурального ряда десять новых рядов, каждый из которых содержит натуральные числа, оканчивающиеся на 0, 1, 2 и так далее до 9. Если теперь пересчитать их количества, то для каждого ряда, как и в случае (1) мы получим количество, совпадающее с количеством натуральных чисел. Теперь вновь соединим все эти ряды в единый. Очевидно, что в результате мы получим исходный ряд – натуральные числа. Получается, что количество членов просуммированного ряда в десять раз больше, чем в ряду натуральных чисел. Но ведь просуммированный ряд – это тот же самый натуральный ряд. Здесь совершается та же ошибка: подсчет без учета принадлежности чисел выделенных рядов исходному, натуральному ряду.
Квадратная таблица. Однако и это не предел. Можно, например, составить таблицу из n строк натуральных чисел, поэтому, соответственно, столбцов будет тоже n, где n – натуральное число. Теперь подсчитаем, перенумеруем диагональным процессом Кантора все числа этой таблицы. Очевидно, что каждое из чисел получит свой порядковый номер, которых, понятно, будет ровно n, стремящееся к бесконечности. Но таблица определенно содержит n2 элементов. Получается, что количество n2 элементов равно n, или, другими словами, количество всех натуральных чисел равно квадрату количества всех натуральных чисел. Конечно, сами натуральные числа к этому
