kukuks kindlasti läbi kolmanda klassi aritmeetikas; ja vaid vähestel 16. sajandist pärit inimestel läheks palju paremini.
Fibonacci proportsioonide abil võrdnurkse spiraali konstrueerimine.
Alustage 1-ühikuse ruuduga, pange selle külge veel üks 1-ühikuline ruut, seejärel paigutage vabasse kohta 2-ühikuline ruut, järgmisse vabasse kohta 3-ühikuline ruut ja lisage samas suunas jätkates 5-, 8-, 13-, 21- ja 34-ühikulised ruudud ning jätkake samas vaimus.
Kopeeritud 1987. aastal ilmunud Trudy Hammel Garlandi teosest „Fascinating Fibonaccis“ Dale Seymour Publicationsi loal.
Numbrite lugu sai läänes alguse 1202. aastal, kui Chartres’ katedraal oli peagi valmimas ja kuningas John oli lõpetamas oma kolmandat aastat Inglise troonil. Sellel aastal ilmus Itaalias raamat pealkirjaga „Liber Abaci“ ehk „Abakuse raamat“. Kõik raamatu viisteist peatükki olid täielikult käsitsi kirjutatud, sest trükikunsti leiutamiseni möödus veel peaaegu kolmsada aastat. Raamatu autor Leonardo Pisano oli kõigest 27-aastane, kuid juba väga õnnega koos: tema raamatut tunnustas Saksa-Rooma keiser Friedrich II. Ühelgi teisel autoril poleks saanud palju paremini minna.28
Suurema osa tema elust teati Leonardo Pisanot Fibonaccina ja selle nime järgi tuntakse teda ka tänapäeval. Tema isa eesnimi oli Bonacio ja Fibonacci on lühivorm väljendist „Bonacio poeg“. Bonacio tähendab „ullikest“ ja Fibonacci „puupead“. Bonacio pidi siiski olema midagi enamat kui ullike, sest ta esindas Pisat mitmes eri linnas konsulina ja tema poeg Leonardo ei olnud kindlasti kohe mingi puupea.
Fibonacci sai innustust „Liber Abaci“ kirjutamiseks külastades õitsvat Alžeeria linna Bejaïat, kus ta isa Pisa konsulina töötas. Kui Fibonacci seal viibis, paljastas üks araabia matemaatik talle India-Araabia arvusüsteemi imed, mida araabia matemaatikud olid Pühale maale toimunud ristikäikude ajal läänemaailmale tutvustanud. Kui Fibonacci nägi kõiki arvutusi, mille tegemise see süsteem võimalikuks muutis – arvutusi, mida oleks Rooma numbritega ilmvõimatu teha – asus ta tööle, et saada selle süsteemi kohta teada kõik, mis võimalik. Juhtivate Vahemere ääres elavate araabia matemaatikute käe all õppimiseks suundus ta reisile, mis viis ta Egiptusse, Süüriasse, Kreekasse, Sitsiiliasse ja Provence’i.
Selle tulemusel sündis igas mõttes erakordne raamat. „Liber Abaci“ tõi inimeste teadvusse täiesti uue maailma, kus numbritega sai asendada heebrea, kreeka ja rooma süsteeme, kus kasutati loendamiseks ja arvutamiseks tähti. Raamat saavutas matemaatikute seas kiiresti poolehoiu nii Itaalias kui ka kogu Euroopas.
„Liber Abaci“ on palju enamat kui aabits uute numbrite lugema ja kirjutama õppimiseks. Fibonacci alustab juhistega selle kohta, kuidas määrata numbrite arvu järgi kindlaks, kas number on ühe-, kümne-, saja- või mõnda muud järku. Edasised peatükid on keerukamad. Sealt leiame täisarvude ja murdarvudega arvutused, proportsioonide reeglid, ruutjuure ja kõrgemate juurte juurimistehted ning isegi lahendused lineaarsetele ja ruutvõrranditele.
Kuigi Fibonacci harjutused olid geniaalsed ja originaalsed, poleks see raamat ilmselt väljaspool matemaatikutest asjatundjate väikest kogukonda palju tähelepanu saanud, kui selles oleks käsitletud ainult teooriat. Kuid raamatule tekkis entusiastlik järgijaskond, sest Fibonacci täitis selle praktiliste rakendustega. Näiteks kirjeldas ja näitlikustas ta palju innovatiivseid võtteid, mida oli võimalik uute arvudega ettevõtete raamatupidamisele rakendada, nagu näiteks rentaabluse arvutamine, valuuta vahetamine, kaalu- ja mõõtühikute teisendamine. Ta oli lisanud raamatusse isegi intressimaksete arvutamise, kuigi liigkasuvõtmine oli endiselt paljudes kohtades keelatud.
„Liber Abaci“ pakkus täpselt sellist vaimuvirgutust, mida nautis kindlasti niivõrd tark ja loominguline inimene kui seda oli keiser Friedrich. Kuigi aastatel 1211–1250 valitsenud Friedrichit tunti julma ja maise võimu kinnismõttest vaevatud inimesena, huvitasid teadus, kaunid kunstid ja valitsemise filosoofia teda tõeliselt. Ta hävitas Sitsiilias kõik eraväeosad ja feodaalsed lossid, maksustas vaimulikkonna ja keelas neil ilmalike ametite pidamise. Samuti lõi ta asjatundliku bürokraatia, kaotas siseriiklikud tollimaksud, kõrvaldas kõik importi tõkestavad õigusaktid ja sulges riigimonopolid.
Friedrich ei talunud rivaale. Erinevalt oma vanaisast, Friedrich I Barbarossast, keda paavst 1176. aastal Legnano lahingus alandas, nautis see Friedrich oma lõputuid lahinguid paavstivõimuga. Ta pandi oma järeleandmatuse tõttu kirikuvande alla mitte ainult korra, vaid lausa kaks. Paavst Gregorius IX nõudis teisel korral Friedrichi ametist kõrvaldamist, iseloomustades teda ketseri, elupõletaja ja antikristusena. Friedrichi vastus oli jõhker rünnak kirikuriigi territooriumile. Samal ajal püüdis tema laevastik kinni suure prelaatide delegatsiooni, kes olid teel Rooma, et ühineda tema võimult eemaldamiseks kokku kutsutud kirikukoguga.
Friedrich ümbritses ennast oma ajastu juhtivate intellektuaalidega ning kutsus neist paljud enda juurde Palermosse. Ta ehitas mõned Sitsiilia kaunimatest lossidest ja asutas 1224. aastal avalike teenistujate koolitamiseks ülikooli, mis oli esimene kuningliku hartaga ülikool Euroopas.
„Liber Abaci“ paelus Friedrichit. Kui Friedrich 1220ndatel Pisat külastas, kutsus ta Fibonacci audientsile. Vestluse käigus lahendas Fibonacci algebraülesandeid ja kuupvõrrandeid, mille üks paljudest Friedrichi teenistuses töötavatest alalistest teadlastest talle esitas. Hiljem kirjutas Fibonacci kohtumisest inspireeritud raamatu „Liber Quadratorum“ ehk „Ruutude raamat“, mille ta keisrile pühendas.
Fibonaccit teatakse kõige paremini ühe lühikese „Liber Abacis“ ilmunud lõigu tõttu, mis viis täieliku matemaatilise imeni. Lõigus uuritakse, mitu jänest sünniks aasta jooksul ühest jänesepaarist, kui eeldada, et igal kuul sünnib igal paaril üks paar jänesepoegi ning et jänesed hakkavad sigima kahe kuu vanuselt. Fibonacci avastas, et algne jänesepaar oleks aasta jooksul sigitanud kokku 233 paari jäneseid.
Lisaks avastas ta veel midagi palju huvitavamat. Ta oli eeldanud, et algne paar ei hakka enne teist kuud järglasi andma ning et seejärel sigitavad nad igal kuul veel ühe paari. Neljandaks kuuks oleks nende kaks esimest järglaste paari sigimisvõimelised. Pärast protsessi algust oleks jänesepaaride koguarv iga kuu lõpus järgmine: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Iga järgmine number on kahe sellele eelnenud numbri summa. Kui jänesed jätkaks oma tegevust sada kuud, oleks paare kokku 354 224 848 179 261 915 075.
Fibonacci jada on palju enamat kui lihtsalt meelelahutus. Jagage mistahes Fibonacci arv temast järgmise arvuga. Pärast arvu 3 on vastus alati 0,625. Pärast arvu 89 on vastus alati 0,618 ning pärast kõrgemaid arve tekib komakohti juurde.29 Jagage mistahes arv sellele eelneva arvuga. Pärast arvu 2 on vastus alati 1,6. Pärast arvu 144 on vastus alati 1,618.
Kreeklastele oli selline proportsioon tuttav ja nad kutsusid seda kuldlõikeks. Kuldlõikega on määratud kindlaks Parthenoni proportsioonid, mängukaartide ja pangakaartide kuju ning New Yorgis asuva ÜRO Peaassamblee hoone proportsioonid. Enamiku kristlike ristide horisontaalne telg eraldab vertikaalset telge enam-vähem sama proportsiooniga: risttala kohal olev osa moodustab selle alla jäävast osast 61,8%. Kuldlõiget võib näha ka looduses – lillemustrites, artišoki lehtedes ja palmipuu leherootsudel. See on samuti inimkeha naba kohale jääva osa suhe nabast allapoole jäävasse osasse (st tavapäraste proportsioonidega inimestel). Sama suhtarvu järgivad ka meie sõrmeluud, kui vaadata neid sõrmetipust käelaba suunas.30
Üks Fibonacci jada romantilisemaid ilminguid määrab kindlaks ilusa spiraali proportsioonid ja kuju.
Suurem osa Fibonaccit käsitlevast taustainfost ja biograafilisest materjalist on pärit järgmistest teostest: Encyclopedia Brittanica; Eves (1983), lk 161; Lancelot Hogben, „Mathematics for the Millions: How to Master the Magic Art of Numbers“ (1968), lk 250; ja Trudi Hammel Garland, „Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers“ (1987).
Üks neid veidrusi, mida arvud tekitada võivad, näitab, et arvu 0,618 saab tuletada, kui võtta ruutjuur viiest, mis on 2,24, lahutada sellest 1 ja jagada tulemus 2-ga. See tulemus on Fibonacci arvjada algebraline tõestus.
Tehniliselt on Fibonacci jada valem järgmine: väiksem osa suhtub suuremasse nii nagu suurem kogu tervikusse.
