ning tema ühtseks võimsaks rahvuseks ühendatud järgijad Indiasse ja sealt kaugemale liikusid.
Uus arvusüsteem mõjus läänes asuvates maades intellektuaalsele tegevusele virgutavalt. Bagdad, niigi suur hariduskeskus, kerkis esile kui matemaatilise teadustöö ja tegevuse kese, ning kaliif hoidis oma palgal juudi õpetlasi, et need tõlgiks selliste matemaatiliste teerajajate teoseid nagu Ptolemaios ja Eukleides. Varsti ringlesid matemaatikute peamised teosed kogu Araabia impeeriumis ning 9. ja 10. sajandiks kasutati neid juba nii kaugel läänes nagu Hispaanias.
Tegelikult oli üks läänepoolne elanik esitlenud arvusüsteemi vähemalt kaks sajandit varem kui hindud. Umbes aastal 200 eKr kirjutas Aleksandria matemaatik Diophantos traktaadi, milles ta tõi esile, millised eelised oleks sellel, kui arvude tähtedega asendamise asemel kasutataks tõeliste numbritega süsteemi.35
Diophantosest pole teada palju, kuid see vähene, mida teame, on lõbustav. Matemaatika ajaloo uurija Herbert Warren Turnbulli sõnul kirjutatakse ühes Kreeka epigrammis Diophantose kohta, et „tema poisipõlv kestis 1/6 tema elust; tema habe hakkas kasvama, kui möödunud oli veel 1/12; ta abiellus, kui mööda sai veel 1/7 ning tema poeg sündis viis aastat pärast seda. Poja elu oli isa omast poole lühem ja isa suri neli aastat pärast oma poega.“ Kui vanalt suri Diophantos?36 Algebrahuvilised leiavad vastuse selle peatüki lõpust.
Diophantos arendas sümboolse algebra – numbrite asemel sümbolite kasutamise – ideed kaugele, kuid ta ei jõudnud sellega päris lõpuni. Ta kommenteerib, et „absurdset võrrandit 4 = 4x + 20 ei ole võimalik lahendada.“37 Ei ole võimalik? Absurdne? Selles võrrandis peab x olema negatiivne arv: –4. Ilma nulli mõisteta, mis Diophantosel puudu jäi, on negatiivne arv loogiliselt võimatu.
Tundub, et Diophantose märkimisväärseid uuendusi on eiratud. Enne kui keegi tema tööd tähele pani, möödus peaaegu poolteist millenniumit. Viimaks ometi said tema saavutused oma väärilise palga: tema traktaat mängis 17. sajandil algebra õitsengus keskset rolli. Meile kõigile tänapäeval tuttavaid algebralisi võrrandeid, nagu näiteks a + bx = c, nimetatakse diofantilisteks võrranditeks.
India-Araabia süsteemi keskmeks oli nulli leiutamine, mida hindud nimetasid sundya ja mille kohta hakati araabia keeles kasutama sõna cifr.38 See mõiste on jõudnud inglise keelde kui sõna cipher (eesti k „null“), mis tähendab tühja ja viitab abakuse või arvelaua tühjale tulbale.39
Inimestel, kes olid kasutanud loendamist ainult selleks, et jälgida, kui mitu looma on tapetud, päeva möödunud või ühikut reisitud, oli nulli mõistet raske haarata. Nullil ei olnud selles mõttes loendamise eesmärgiga mingit pistmist. Nagu on öelnud 20. sajandi inglise filosoof Alfred North Whitehead:
Nulli mõte on see, et meil ei ole vaja seda igapäevastes tegevustes kasutada. Keegi ei lähe nulli kala ostma. Mõnes mõttes on see kõigist põhiarvudest kõige tsiviliseeritum ning selle kasutamise on meile peale surunud ainult kultiveeritud mõtteviisidest tulenevad vajadused.40
Whiteheadi fraas „kultiveeritud mõtteviisid“ viitab sellele, et nulli mõiste päästis valla midagi sügavamat kui lihtsalt parema loendamise ja arvutamise meetodi. Nagu Diophantos oli aimanud, võimaldas korralik arvusüsteem matemaatikal areneda lisaks mõõtmistehnikale ka abstraktseks teaduseks. Null pühkis ideede ja progressi piirid minema.
Null muutis vana arvusüsteemi radikaalselt kahel viisil. Esiteks tähendas see, et inimesed said kasutada ainult kümmet numbrit nullist üheksani, et teha kõiki kujutletavaid arvutusi ja kirjutada mistahes mõeldavaid arve. Teiseks tähendas see, et selline arvujada nagu 1, 10, 100 näitaks, et järgmine arv jadas oleks 1000. Null muudab kogu arvusüsteemi struktuuri kohe nähtavaks ja selgeks. Proovige teha sama Rooma numbritega I, X ja C või V, L ja D – milline oleks nende jadade järgmine arv?
Araabia aritmeetika esimese teadaoleva teose kirjutas matemaatik al-Khwārizmī, kes elas umbes 825. aasta paiku, umbes 400 aastat enne Fibonaccit.41 Kuigi temast on kuulnud vaid need vähesed, kes tema tööst kasu on saanud, teab enamik meist teda kaudselt. Proovige öelda kiiresti „al-Khwārizmī“. Sealt tuleb meile sõna „algoritm“, mis tähendab arvutamise reegleid.42 Al-Khwārizmī oli esimene matemaatik, kes sõnastas reeglid uute India numbritega liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise kohta. Ühes teises uurimuses pealkirjaga „al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ǧabr wa-ʾl-muqābala“ ehk „Transpositsiooni ja taandamise teadus“ kirjeldas ta üksikasjalikult algebraliste võrrandite teisendamise protsessi. Meie sõna algebra, mis tähendab võrrandite teadust, on seega tulnud sõnast al-ǧabr.43
Üks varastest matemaatikutest kõige tähtsamaid ja kindlasti neist kõige kuulsam oli Umar Hajjam, luulekogumiku „Rubaiyat“ („Nelikvärsid“) autor,44 kes elas umbes aastatel 1050–1130. Inglise luuletaja Edward Fitzgerald tõlkis Victoria ajastul ära tema 75 neljarealisest luuletusest koosneva kummitava seeria (sõna Rubaiyat tähistab luulevormi). Selles õhukeses väljaandes räägitakse rohkem veinijoomise rõõmudest ja elu mööduva loomuse ärakasutamisest kui teadusest või matemaatikast. Tõepoolest, luuletuses XXVII kirjutab Umar Hajjam nii:
Kord raamatutest otsisin ma saladuste vööd,
kui tuli muret näinud mees ja laitis minu tööd.
Ta lausus mulle: „See on õnnis mees, kel kaenlas nüüd
üks piiga nagu Kuu ja aastapikkused kõik ööd!“45
Fitzgeraldi sõnul sai Umar Hajjam hariduse koos kahe sõbraga, kes olid mõlemad sama terased kui tema: Nizam al Mulk ja Hasan al Sabbah. Ühel päeval tegi Hasan ettepaneku, et kuna vähemalt üks kolmest saab rikkaks ja võimsaks, peaksid nad vanduma, et „kellele iganes see õnn sülle langeb, jagab seda võrdselt teistega ega sea ennast esikohale.“ Nad andsid kõik vande ja aja jooksul sai Nizamist sultani vesiir. Tema kaks sõpra otsisid ta üles ja palusid oma osa, mille ta neile andis, nagu lubatud.
Hasan küsis ja sai koha valitsuses, kuid kuna ta ei olnud oma ametijärje edenemisega rahul, lahkus ta sealt ja temast sai ühe kogu muhameedlikus maailmas hirmu külvanud usufanaatikute sekti juht. Palju aastaid hiljem mõrvas Hasan oma vana sõbra Nizami.
Umar Hajjam ei küsinud ühtegi tiitlit ega ametikohta. „Suurim heategu, mille sa mulle teha saad,“ ütles ta Nizamile, „on lasta mul elada mõnes oma õnne varjulises nurgakeses, et ma saaks teaduse hüvesid laialdaselt levitada ning palvetada su pika ea ja heaolu eest.“ Kuigi sultan armastas Umar Hajjami ja külvas ta teenetega üle, „vaadati Umarile tema mõtete ja kõneviisi epikuurliku jultumuse tõttu tema enda ajastul ja riigis viltu“.
Umar Hajjam kasutas uut arvusüsteemi, et töötada välja arvutamise keel, mis läks al-Khwārizmī jõupingutustest kaugemale ja millest sai keerulisema algebralise keele alus. Lisaks kasutas Umar Hajjam tehnilisi matemaatilisi tähelepanekuid kalendri reformimiseks ja selleks, et mõelda välja kolmnurkne tabel, mis lihtsustas arvutamist ruutude, kuupide ja kõrgemate matemaatiliste tehete korral. See kolmnurk oli aluseks kontseptsioonidele, mille töötas 17. sajandil välja prantsuse matemaatik
Taustamaterjal Diophantose kohta on pärit teosest Herbert Westren Turnbull, „The Great Mathematicians“ (1951), lk 113.
Turnbull (1951), lk 110.
Turnbull (1951), lk 111.
Vt ka Hogben (1968), lk 244–246.
Araabiakeelne mõiste on jõudnud isegi vene keelde, kus selle sõnakuju on
Allikas: James R. Newman, „The World of Mathematics: A Small Library of the Literature of Mathematics from A’h-mosé the Scribe to Albert Einstein“ (1988), lk 433.
Taustamaterjal al-Khwārizmī kohta on peamiselt pärit teostest Jane Muir, „Of Men and Numbers: The Story of the Great Mathematicians“ (1961) ja Hogben (1968).
Hogben (1968), lk 243.
Vt Hogben (1968) VI peatükki, et lugeda pikemat ja stimuleerivat käsitlust algebra arengu ja nulli kasutuste kohta.
Taustamaterjal Umar Hajjami kohta pärineb Edward Fitzgeraldilt.
Umar Hajjam, „Nelikvärsid“. Pärsia keelest tõlkinud Haljand Udam, kirjastus Eesti Raamat (1967); luuletus nr 27. (Tõlkija märkus.)
