с/а, где с – расстояние от центра эллипса до фокуса, а – большая полуось эллипса.
Чем больше это отношение, тем более вытянута орбита движения планеты, фокусы находятся дальше друг от друга. Если это отношение равно нулю (при с = 0, c/а = 0), то эллипс превращается в окружность, фокусы сливаются в одну точку – центр окружности.
Орбиты Земли и Венеры почти круговые, для Земли соотношение c/a составляет 0,0167, для Венеры – 0,0068. Орбиты других планет более сплющенные. Наиболее вытянута орбита Меркурия, для которого c/a = = 0,2056.
Рис. 28. Схема эллиптической орбиты движения планет: P – перигелий; A – афелий; a – среднее расстояние от планеты до Солнца; m – масса планеты; M – масса Солнца; F, F’ – фокусы орбиты; r¯ – радиус-вектор планеты
По эллиптическим орбитам движутся не только планеты вокруг Солнца, но и спутники (естественные и искусственные) вокруг планет. Ближайшая к Земле точка движения спутника называется перигеем, самая удалённая – апогеем.
На рисунке 29 проиллюстрирован второй закон Кеплера.
Рис. 29. Схема движения планет вокруг Солнца в равные промежутки времени: P – перигелий; A – афелий; m – масса планеты; M – масса Солнца; r¯ – радиус вектор планеты; S1, S2 – площади, описываемые радиусом– вектором планеты; F, F’ фокусы орбиты
Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.
Из рисунка понятно, что радиус-вектор – это отрезок, соединяющий фокус орбиты (по сути, центр Солнца) и центр планеты в любой точке её движения по орбите. В соответствии со вторым законом Кеплера площади выделенных цветом секторов равны между собой. Тогда получается, что за одинаковый промежуток времени планета проходит по орбите разное расстояние, т. е. скорость движения не постоянна: v2 > v1.
Третий закон Кеплера (гармонический) записывают следующим образом.
Квадраты периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся друг к другу, как кубы больших полуосей их орбит.
Помня, что длина большой полуоси орбиты считается средним расстоянием от планеты до Солнца, запишем математическое выражение третьего закона Кеплера:
T21 /Т22= a31 /a32
где T1, T2 – периоды обращения планет 1 и 2; a1, a2 – среднее расстояние от планет 1 и 2 до Солнца.
Третий закон Кеплера выполняется как для планет, так и для спутников, с погрешностью не более 1 %.
Г. Кнеллер. Портрет Исаака Ньютона. 1689 г.
Сам Кеплер особенно важным считал третий закон. Пользуясь им, можно вычислить относительные расстояния планет от Солнца, используя для этого уже известные периоды их обращения. Следовательно, не было необходимости измерять расстояние от Солнца до каждой планеты. Достаточно было измерить только расстояние от Земли до Солнца. Именно его величину – астрономическую
