Para el flujo turbulento en una cañería lisa, el factor de fricción c viene dado por la solución de la ecuación algebraica:
Donde NRe es el número de Reynolds. Utilice un método de punto fijo para hallar el valor de c para los siguientes valores del número de Reynolds: NRe = 104, 105, 106. Un punto de partida para el coeficiente de fricción puede ser la fórmula de Blasius: c = 0.316(NRe)–0.25
3) Se desea calcular la densidad del CO2 supercrítico a la presión de 104 kPa y una temperatura de 340 K. En estas condiciones una ecuación de estado apropiada para caracterizar las propiedades p-v-T del fluido es la ecuación de estado de Peng-Robinson, dada por:
En donde a = 350 m6kPa/kmol2 y b = 0.07 m3/kmol.
Proponga una fórmula de iteración de punto fijo y resuelva para el volumen molar del sistema.
4) R. DeSantis ha deducido la siguiente ecuación para el factor de compresibilidad Z:
Donde b es la constante de Van der Waals y v el volumen molar. Si b = 0.08 L/mol y Z = 0.8, proponga una iteración de punto fijo y encuentre el volumen molar del sistema.
2.5.2 Métodos de interpolación para ecuaciones escalares
1) Una partícula en caída libre alcanza una velocidad terminal v en m/s que está dada por la siguiente ecuación algebraica:
a) Resuelva esta ecuación en forma numérica mediante el método de Newton.
b) Establezca un criterio de convergencia para detener la iteración e incorpórelo dentro de una macro de Matlab®.
c) Verifique si obtuvo o no convergencia, si el método funciona o no, etcétera.
2) La ecuación no lineal
posee tres soluciones distintas en el intervalo [-1, 4]. Programe una función en Matlab® que resuelva la ecuación anterior mediante el método de Newton para distintos valores iniciales x(1). Luego aplíquela para hallar las tres raíces de f(x).
3) Resuelva el problema anterior empleando el método de interpolación cuadrática para hallar las tres raíces de la ecuación algebraica.
4) Para un problema de equilibrio químico, hay que resolver la siguiente ecuación no lineal:
Donde 0 < x < 1. Escriba un macro que utilice el método de interpolación cuadrática para resolver la ecuación (1). ¿Cómo podría Ud. decidir si su iteración está convergiendo o no? Explique.
5) Para el flujo turbulento en una cañería con diámetro D y espesor e, el factor de fricción c viene dado por la solución de la ecuación de Colebrook:
Donde NRe es el número de Reynolds.
a) Programe una función en Matlab® para hallar c que tome como argumentos los valores de NRe y de e/D, y que encuentre c mediante el método de Newton.
b) Ahora haga un macro en Matlab® que calcule el valor de c para distintas combinaciones NRe = 104 a 108, e/D = 0.0001 a 0.01 y que luego haga un gráfico que represente la función c(NRe, e/D) en el dominio donde se han hecho los cálculos.
6) Considere la sedimentación de una partícula esférica sólida en un medio líquido en reposo. La partícula está sometida a la fuerza de gravedad (Fg) y la fuerza de fricción con el líquido (Fd). La ecuación para la velocidad terminal Vt de una partícula de diámetro DP viene dada por la expresión:
Donde ρ y ρP son las densidades del líquido y de la partícula, respectivamente; g es la aceleración de gravedad (9.8 m/s2); y el factor de fricción CD está determinado por el número de Reynolds de la partícula: Re = Vt·ρ·DP/μ, (μ es la viscosidad del líquido) por la siguiente expresión:
Construya una función de Matlab® que reciba como argumentos de entrada ρ, μ, ρP, DP, y entregue como argumentos de salida: a) Número de Reynolds Re; b) Coeficiente de fricción CD; y c) La velocidad de sedimentación Vt (en m/s). Pruebe su función con los siguientes datos de entrada:
i) ρ = 1000 kg/m3, μ = 9·10-4 kg/m·s, ρP = 2600 kg/m3 , DP = 0.02 m.
ii) ρ = 1000 kg/m3, μ = 9·10-4 kg/m·s, ρP = 2000 kg/m3 , DP = 2·10–4 m.
iii) ρ = 1000 kg/m3, μ = 9·10-4 kg/m·s, ρP = 1500 kg/m3 , DP = 2.5·10–6 m.
2.5.3 Sistemas de ecuaciones
1) Los problemas de equilibrio químico en mezclas de compuestos producen sistemas de ecuaciones no lineales con múltiples soluciones. Considere por ejemplo, el siguiente sistema de reacciones en equilibrio:
Si inicialmente se combinan 3 moles de H2 con 1 mol de CO hasta que se alcanza el equilibrio, las concentraciones de equilibrio se obtienen al resolver el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas:
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