2.8 Ruta de Listing y sistema asociado de representatión (ϕθ) de los movimientos oculares.
Tenido en cuenta el ángulo α, Listing encontró que, girando el eje Y de Fick un valor α, el ojo puede girar directamente de O a T con un valor β, denotado como excentricidad y que se deduce a partir de:
En principio, la única rotación monocular que se haría sería el valor β y no el valor α, puesto que lo asociamos a un giro de los ejes de Fick y no del ojo. Aun así, no podríamos identificar la rotación β como un tipo de ducción. Consecuentemente, el sistema de representación asociado a esta ruta es exclusivamente polar o curvilíneo, nunca cartesiano (fig. 2.8, derecha). Para el ejemplo numérico desarrollado, se obtiene que α = 32.01 deg y β = 5.39 deg, que serán por tanto las coordenadas polares asociadas a la posición terciaria T.
Reuniendo todas las variables de las tres rutas (Helmholtz, Fick y Listing), aparecen las relaciones siguientes por trigonometría simple:
Fig. 2.9 Comprobación de la falsa torsión.
2.6 Leyes de Donders y de Listing
En principio, si tratamos al globo ocular como una esfera, no existe ningún impedimento geométrico para llegar a una posición terciaria T con un único eje de giro (fig. 2.9, derecha). Sin embargo, desde un punto de vista de estudio de los movimientos es más sencillo descomponer cualquier movimiento terciario como composición de movimientos secundarios. Por ejemplo, para llegar a una posición terciaria del ojo derecho arriba y a la derecha, podemos realizar una dextrosupraducción o una supraducción y luego una dextroducción o abducción, que es la ruta de Helmholtz. En general, para ir de la posición primaria a una terciaria, el ojo siempre usa la ruta más corta, siguiendo un principio de mínimo esfuerzo, girando alrededor de un eje perpendicular al plano que contiene el punto inicial y final (el plano QOT de la fig. 2.8), que es la ruta de Listing. Ahora bien, aunque en principio parece que la posición final del ojo debería ser la misma por uno u otro camino, lo cierto es que la posición final es diferente. Lo podemos comprobar claramente en la fig. 2.9, en la que observamos cómo el giro del ojo por dos caminos diferentes da lugar a que la cruz pegada al ojo queda en una orientación diferente.
Si considerásemos el camino por movimientos secundarios (Helmholtz o Fick), habría que añadir al final una ligera torsión ω. Esta falsa torsión es producto de la diferencia geométrica de los dos movimientos. Sin embargo, la posición final del ojo es siempre la que se obtendría a través del camino más corto (ruta de Listing). Este aspecto lo indicó inicialmente Donders (1847) con su ley:
«El grado de falsa torsión ω asociado a una posición terciaria es independiente de cómo se llega esta posición.»
Listing (1854) concretó más esta ley, enunciando su ley:
«Cuando la línea principal de mirada es .llevada desde una posición primaria hasta cualquier otra posición terciaria, el ángulo de falsa torsión del ojo en esta posición es el mismo que el que se conseguiría si el ojo hubiese llegado a esta posi-ción girando β alrededor de un eje perpendicular al plano que contiene el punto inicial y final.»
Aunque la justificación geométrica completa del ángulo de falsa torsión ω es más complicada (Bennett & Rabbetts, 1989: 177), es posible relacionar esta nueva variable con las anteriores asociadas a las rutas de Fick y de Listing:
Para el ejemplo numérico desarrollado en la sección anterior se obtiene ω = 6’ 50" de arco. En general, el valor numérico de ω nunca excederá de 10 deg. Para comprobar la falsa torsión se puede hacer uso de dos métodos:
a) Fotográfico: se basa en realizar una fotografía del ojo y comprobar la torsión producida.
b) Post-imágenes: se produce una post-imagen en forma de cruz. Al mover el ojo en diferentes direcciones se observa que en las direcciones B, C, D y E no se ve variación, mientras que en las direcciones F, G, H y J se observa un giro de la cruz (fig. 2.10).
Fig. 2.10 Comprobación de la falsa torsión por post-imágenes.
Problema resuelto
1. Considera que nos encontramos en el cine a una distancia de 20 m de la pantalla, la cual tiene de dimensiones 9 m de ancho por 4 m de alto. Si suponemos que reposando la cabeza sobre el respaldo nos encontramos en positión primaria respecto al centro de la pantalla O, y consideramos dos puntos A (en la esquina superior-izquierda) y B (en el centro del cuadrante inferior-izquierdo) sobre la pantalla, determina:
a) Las representations de Helmholtz, Fick y Listing de los movimientos oculares de tipo terciario O→A y → B.
b) La falsa torsión ω asociada a estos dos movimientos oculares.
a) La fig. 2.11 muestra las posiciones terciarias A y B con respecto a la positión primaria, así como los vértices adicionales S, T, R y P para describir las rutas de Helmholtz y Fick.
Fig. 2.11 Esquema inicial del problema 1.
Para el movimiento oblicuo O→A, los parámetros de la ruta de Helmholtz son:
Para el movimiento oblicuo O→B, los parámetros de la ruta de Helmholtz son:
Las posiciones (Φ,μ) de las posiciones terciarias A y B en el diagrama de representación se muestran en la fig. 2.12.
Fig. 2.12 Esquemas de obtención de los parámetros (Φ,μ) de Helmholtz y repre-sentación gráfica de los dos movimientos terciarios del problema 1.
Para el movimiento oblicuo O→A, los parámetros de la ruta de Fick son:
Para el movimiento oblicuo O→B, los parámetros de la ruta de Fick son:
