Un curso de álgebra. Gabriel Navarro Ortega

       Introducción

      Este libro ofrece un primer curso de álgebra no lineal. En él, elegimos el objetivo de probar el gran teorema de Galois sobre la resolubilidad de ecuaciones polinómicas por radicales. Al mismo tiempo que aprendemos a «hacer» álgebra con el alumno, este tiene la sensación de que estamos resolviendo un problema natural con raíces históricas.

      En la primera parte del libro introducimos los grupos.

      Aunque tratamos de no apartarnos de nuestro objetivo, algunas veces no podemos resistir probar algunos teoremas que no son estrictamente necesarios para llegar a este. Por ejemplo, en el capítulo 5 damos una nueva demostración del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Tampoco la teoría de Sylow sería esencial, aunque difícilmente un especialista en teoría de grupos finitos podrá dejar de presentarla.

      La segunda parte del libro empieza en el capítulo 6 con los resultados más básicos sobre anillos y polinomios que nos permiten desarrollar la teoría de Galois. Seguramente, un especialista en teoría de anillos preferirá aumentar los contenidos de esta sección a costa de la parte de grupos.

      En el capítulo 7, estudiamos las extensiones de cuerpos (donde por vez primera necesitaremos resultados elementales de álgebra lineal). Finalmente, en el capítulo 8, estamos ya preparados para estudiar la teoría de Galois. Por simplicidad, sus teoremas principales los probaremos sobre cuerpos de característica cero. (Una vez entendido este caso, el alumno interesado no tendrá dificultad en entender la teoría de Galois sobre cuerpos de cualquier característica).

      Dependiendo del tiempo que quedara de curso, se podrían introducir algunos de los tópicos que no incluimos como construcciones con regla y compás o extensiones ciclotómicas.

      A lo largo de los distintos capítulos, proponemos diversos ejercicios que solemos utilizar en las demostraciones. La resolución de estos siempre es rutinaria y permite al alumno practicar las definiciones y entender mejor los teoremas. Al final de cada capítulo, proponemos una serie de problemas (algunas de cuyas soluciones las encontrará el lector al final del libro).

      En la bibliografía, damos la referencia de algunos de los textos con los que el alumno podrá continuar estudiando álgebra.

      Finalmente, este libro no hubiera sido el mismo sin la colaboración de una profesora extraordinaria de álgebra: María Jesús Iranzo. También quiero dar las gracias a Alexander Moretó y a Francisco Pérez Monasor.

      Valencia, febrero de 2002