перед наукой Гильбертом. Арифметика не имела доказательства своей последовательности, более того, она не могла быть одновременно последовательной и полной. Это поразительное заявление ознаменовало новый этап в исследованиях, поскольку Гильберт до этого момента надеялся, что его программа сможет свести все факты воедино. И большим огорчением оно стало для тех, кто стремился увидеть в математике нечто абсолютно совершенное и неопровержимое. Однако, вместе с этим открытием возник ряд новых вопросов.
Последние лекции курса, который читал Ньюман, были посвящены доказательству теоремы Гёделя, и таким образом Алан достиг границы известных науке знаний. И все же третий вопрос Гильберта оставался еще открытым, хотя теперь он рассматривался с точки зрения своей «доказуемости», а не «верности», как ранее. Полученные Гёделем результаты не исключали возможность существования некоторого метода определения, какие суждения являются доказуемыми, а какие – нет. Возможно, некоторые утверждения Гёделя следовало исключить. Но существовал ли определенный метод или, как выразился Ньюман, «механический процесс», который мог бы быть применен к математическому утверждению и в результате которого возник бы ответ, доказуемо ли данное утверждение?
С одной стороны, такое требование казалось почти невыполнимым и затрагивало самую суть всего, что было известно о математике с позиции креативного мышления. Так, в 1928 году Харди отнесся к этой идее с особым негодованием, заявив:
Разумеется, не существует такой теоремы, и это довольно удачное для нас обстоятельство, поскольку если бы она существовала, для решения всех математических проблем нам бы потребовался механический набор правил, и наша математическая деятельность на этом бы и завершилась.
Тем временем в науке оставалось множество теорем и суждений, которые веками не находили своего доказательства или опровержения. Такой оставалась известная под названием Великая или Последняя теорема Ферма, предполагающая невозможность разложить куб на два куба, биквадрат – на два биквадрата и, в общем случае, любую степень, большую двух, в сумму таких же степеней. Другим примером явилась гипотеза Гольдбаха, формулировка которой заключалась в том, что каждое четное число больше 2 можно представить как сумму двух простых чисел. Трудно было поверить, что не находившие многие годы своего решения теоремы могли в действительности найти его попросту исходя из некоего набора установленных правил. Более того, сложные проблемы, которые были решены, такие как теорема Гаусса о четырех квадратах, редко находили доказательство подобным путем применения «механического набора правил», и скорее задействовали творческое воображение, создавая новые абстрактные алгебраические идеи. Как заметил Харди, «только неискушенный непрофессионал может себе представить, что открытия в математике происходят по одному повороту рычага какой-то сверхъестественной машины».
С
