entre otros.
El propósito de este libro es presentar modelos de tipo discreto. En los últimos años se ha incrementado el interés en este tipo de modelos [1, 5, 6, 7, 8], puesto que en ellos los resultados obtenidos son más fáciles de comparar con los datos reales ya que los datos también son obtenidos en intervalos de tiempo discretos (días, semanas, meses, etc). Adicionalmente, desde el punto de vista computacional, los modelos continuos deben ser discretizados para poder realizar simulaciones, mientras que estos modelos ya son formulados de manera discreta, lo cual se convierte en otra ventaja.
Presentamos algunas ideas generales sobre modelación y control óptimo, en los Capítulos 1 y 2. En los últimos capítulos nos concentramos en las pandemias que han afectado al mundo en los últimos años; la influenza AH1N1, que estuvo presente en el año 2009 y el COVID-19 que apareció a finales del año 2019 y se ha propagado a lo largo del mundo en el año 2020.
En cuánto a la influenza AH1N1, se notificaron al Sistema Nacional de Vigilancia en Salud Pública (Sivigila) en Colombia, un total de 163 628 casos desde el inicio de la pandemia en el 2009, en la semana 14, hasta la semana 35 del mismo año. El primer caso en Colombia se registró el 3 de mayo de 2009, convirtiendo a Colombia en el primer pais con casos confirmados en suramerica. [9]. El virus que circuló en ese momento afectó principalmente a los jóvenes, se asume que las personas mayores de 65 años tenían cierta inmunidad debido a una exposición previa a cierto tipo de virus AH1N1. A nivel mundial se estimó que el 80 % de las muertes relacionadas con este virus se presentaron en personas menores de 65 años, lo cual difiere de una epidemia típica de influenza estacional en la cual la población más afectada son los mayores de 65 años (70 a 90 % de las muertes) [10].
El COVID-19, es un nuevo virus que fue reportado por primera vez en la provincia de Wuhan, China [11, 12]. Este virus se propagó rápidamente a otras regiones del mundo; en marzo del 2020, 213 regiones al rededor del mundo estaban afectadas y más de 5 millones de casos habían sido confirmados. El 11 de marzo, la Organización Mundial de la Salud confirmó que se trataba de una pandemia [13]. El primer caso en Colombia se reportó la primera semana de marzo, al 30 de julio se tenían ya 276 050 casos confirmados y 9 454 fallecidos debido a la enfermedad [14].
En el Capítulo 1 se presentan las ideas generales de un modelo discreto SIR, se calcula el número reproductivo básico, R0, el cual se define como el número de casos secundarios que un único individuo infectado puede producir en una población de individuos susceptibles y algunas simulaciones considerando diferentes valores de R0. Todos los resultados numéricos presentados en el libro son resultados de simulaciones realizadas con el programa Matlab.
En el Capítulo 2 se formula un modelo de control en epidemiología y se presentan dos maneras de resolverlo: La versión discreta del Principio del Máximo de Pontryagin [15, 16, 17] y el método de Puntos Interiores [18]. Este último permite la incorporación de restricciones de manera más natural en el problema.
En el Capítulo 3 se formula un problema de control óptimo para un modelo de influenza en el que se consideran el distanciamiento social y el tratamiento antiviral como políticas de control. Se estudian diferentes escenarios, proponiendo diferentes estrategias que consideran la aplicación de los controles de manera individual o colectiva para diferentes valores de R0. El problema se resuelve aplicando los dos métodos mencionados y se hace una comparación entre ellos. En estas simulaciones, se hace referencia a un escenario ideal en el que los recursos son ilimitados. En el Capítulo 4 se plantea un escenario más realista en el que los recursos son limitados; es decir, se considera que se tiene un número de dosis de tratamiento disponible. El problema se resuelve formulando una restricción isoperimétrica, la cual se puede introducir de manera más natural aplicando el método de Puntos Interiores.
Teniendo en cuenta que muchas enfermedades afectan de manera diferente a algunos grupos de la población, a veces de acuerdo a la edad de los individuos, otras como el caso del COVID-19 presentan manifestaciones más severas en poblaciones con enfermedades de base; ciertos grupos pueden ser más vulnerables, por tanto se introduce en el Capítulo 5 un modelo en el que la población es dividida en grupos, los cuales pueden definirse de acuerdo a la edad, grado de susceptibilidad, etc. En nuestras simulaciones, consideramos el caso de dos y tres grupos para diferentes escenarios. En particular, cuando la población es dividida en tres grupos, se compara cómo deben ser aplicadas las estrategias en el caso de la influenza estacional en contraste con la pandemia de influenza AH1N1, para esto se dividió la población colombiana por edades, teniendo en cuenta datos del Departamento Nacional de Estadistica (DANE) [19].
Finalmente en el Capítulo 6 se formula un modelo de propagación del COVID-19, en el cual se considera la presencia de individuos asintomáticos o con síntomas leves, ya que esto puede explicar la alta propagación de esta enfermedad. Se comparan resultados del modelo con datos estadísticos de la ciudad de Santiago de Cali [14]. En el modelo se incorpora una función que representa distanciamiento social teniendo en cuenta la cuarentena obligatoria decretada por el Gobierno en el mes de marzo de 2020, esta función es modificada teniendo en cuenta la apertura paulatina de ciertos sectores de la economía. Se muestra cómo estas políticas han ayudado a mitigar un poco el impacto de la enfermedad.
Una de las contribuciones más importantes en epidemiología matemática es el modelo compartamental propuesto por Kermack y McKendrick formulado en 1927 [1, 2, 3, 4], el cual es un modelo continuo basado en el flujo de individuos entre diferentes clases.
En particular es bien conocido el clásico modelo SIR, en el que la población total es dividida en Susceptibles (personas que no han contraido la enfermedad y podrían ser infectados), Infectados (personas que han adquirido la enfermedad y pueden transmitirla a otros individuos) y Removidos o Recuperados (individuos que estuvieron infectados y ya se recuperaron de la enfermedad). En la Figura 1.1 se muestra el diagrama de flujo de la dinámica de la enfermedad para el modelo continuo SIR. En este diagrama cada compartimento representa una clase de individuos; Susceptibles (S) - Infectados (I) - Recuperados (R), las personas se mueven de un compartimento a otro cuando cambia su estado en la epidemia.
Diagrama modelo continuo SIR
Figura 1.1: Diagrama de flujo compartamental para el modelo SIR. Los individuos se mueven de un compartimento a otro cuando cambia su estado epidemiológico. Un susceptible (S) pasa a ser infectado (I) o un infectado (I) pasa a ser recuperado (R).
El modelo está dado por el sistema de ecuaciones diferenciales:
En este modelo no se tienen en cuenta efectos demográficos; es decir, no hay nacimientos
