по крайней мере, отчасти, подтверждаются трудами основателя сирийской неоплатонической школы Ямвлиха (ок. 245–325 гг. до н. э.). Согласно одному из рассказов Ямвлиха, пифагорейцы поставили Гиппасу надгробный камень, будто мертвому, за открытие несоизмеримости, которое подрывало самые основы их учения. Однако в другом месте Ямвлих сообщает, что «…о Гиппасе говорят, что он был из числа пифагорейцев; за то, что разгласил и достроил впервые сферу из двенадцати пятиугольников, он погиб в море как нечестивец, зато снискал славу первооткрывателя, хотя все [открытия должны принадлежать] «оному мужу» – так [пифагорейцы] величают Пифагора, не называя его по имени» (пер. А. В. Лебедева). Говоря «достроил сферу из двенадцати пятиугольников», Ямвлих имеет в виду (несколько неточно, поскольку получившаяся фигура на самом деле не сфера) додекаэдр, геометрическое тело с двенадцатью гранями, каждая из которых представляет собой правильный пятиугольник, – одно из пяти геометрических тел, известных как платоновы тела. Платоновы тела теснейшим образом связаны с золотым сечением, и мы еще вернемся к ним в главе 4. Несмотря на то что все эти рассказы подозрительно напоминают легенды, историк математики Уолтер Баркерт в своей книге «Древний пифагореизм. Наука и легенды» (Walter Burkert. Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, 1972) приходит к заключению, что «хотя сведения о Гиппасе и овеяны легендами, в них есть здравое зерно». Доказательство справедливости этого заявления мы видим на рис. 10 (и в Приложении 2). Вывод о том, что диагональ и сторона правильного пятиугольника несоизмеримы, основан на очень простом наблюдении, что строить все меньшие и меньшие пятиугольники можно до бесконечности. То есть совершенно очевидно, что это доказательство было вполне доступно и математикам, жившим в V веке до нашей эры.
Для существа рационального невыносимо только нерациональное[2]
Хотя, разумеется, возможно, и даже, пожалуй, вероятно, что несоизмеримость и иррациональные числа были открыты в связи с золотым сечением, более традиционная точка зрения гласит, что на эти концепции мыслителей натолкнуло соотношение стороны и диагонали квадрата. Аристотель в своей «Первой аналитике» пишет, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, «потому что, если допустить их соизмеримость, то нечетное было бы равно четному» (пер. Б. Фохта). Здесь Аристотель вскользь намекает на доказательство несоизмеримости, которое я приведу полностью, поскольку это прелестный пример доказательства логическим методом, известным как reductio ad absurdum («доведение до абсурда», или метод «от противного»). Более того, когда в 1988 году журнал «The Mathematical Intelligencer» предложил читателям проранжировать двадцать четыре теоремы в соответствии с их «красотой», доказательство, которое я сейчас представлю, заняло седьмое место.
Изящный метод «от противного» основывается на том, что верность утверждения доказывается тем, что противоположное ему утверждение ложно. Самый авторитетный иудейский ученый Средневековья Маймонид (Моше
Парафраз известного афоризма Эпиктета: «Для существа, обладающего разумом, невыносимо только неразумное» («Беседы», кн. 1, гл. 2, пер. Г. Тароняна) –
