Formeln:
3. Beispielaufgabe I:
Ein Stein der Masse m=400g wird über einem Brunnen fallen gelassen und die Zeit bis zum Aufprall wird gemessen. Wie tief ist der Brunnen, wenn die Zeit zwischen Loslassen des Steines und Aufprall auf der Wasseroberfläche genau 3 Sekunden betrug?
4. Lösung:
Auf einen Stein in Erdnähe wirkt eine Beschleunigung von g=9,81m/s². Diese sogenannte Erdbeschleunigung wurde schon oft sehr gründlich gemessen und ist daher allgemein bekannt. Sie steht beispielsweise auch in jeder anderen Formelsammlung (normalerweise aber ohne weitere Erläuterung). Übrigens wirkt diese Beschleunigung auf jeden Körper in Erdnähe – unabhängig von der Masse des Körpers! Das bedeutet, dass auf eine Feder die gleiche Beschleunigung wirkt, wie auf einen Stein. Wenn aber die gleiche Beschleunigung auf einen Stein wie auf eine Feder wirkt, warum fällt dann die Feder normalerweise langsamer als der Stein? Die Antwort: Nur der Luftwiderstand der Feder ist ein anderer als der des Steines, der Luftwiderstand der Feder ist größer als der des Steines. Im Vakuum, wo es ja keinen Luftwiderstand gibt, weil keine Luft da ist, fällt eine Feder genau so schnell wie ein Stein! Man sieht das auch an folgender Rechnung:
Dabei haben wir F=mg eingesetzt, weil das ja die Formel für die Gewichtskraft in Erdnähe ist, also für die Erdanziehungskraft. Diese Erdanziehungskraft bewirkt die Erdbeschleunigung. Die Masse kürzt sich hier heraus und hat deswegen keinen Einfluss auf die Beschleunigung. Die Beschleunigung durch die Gravitation in Erdnähe ist immer und für jeden Körper g=9,81m/s².
Als Nächstes schaut man sich den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und zurückgelegtem Weg eines Körpers an. Diesen nennt man Newtonsches Ort-Zeit-Gesetz und er lautet:
Die Beschleunigung a ist in diesem Fall ja die Erdbeschleunigung g=9,81m/s², die Zeit t ist bekannt (3 Sekunden) und den zurückgelegten Weg x suchen wir. Also setzen wir ein:
Zwischen Oberseite des Brunnens und Wasseroberfläche liegen also in etwa 44m.
Bemerkung: umgekehrt könnte man natürlich auch die Zeit berechnen, die der Stein für den Fall benötigt, wenn irgendeine beliebige Tiefe des Brunnens gegeben ist. Sagen wir der Brunnen hat eine Tiefe von 10 Metern. Um die nötige Zeit zu berechnen, lösen wir das Newtonsche Orts-Zeit-Gesetz nach der Zeit auf und setzen die bekannten Werte x=10m und a=9,81m/s² ein:
Um 10 Meter Fallhöhe zu überwinden benötigt der Stein also nur etwa 1,41 Sekunden.
5. Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung - Beispielaufgabe II:
Ein Auto mit einer Masse von einer Tonne wird mit einer Kraft von 5 Kilo-Newton bei einem Wirkungsgrad von 30% beschleunigt. Wie schnell fährt es nach 3 Sekunden Beschleunigungszeit?
6. Lösung:
Der Wirkungsgrad gibt an, wie viel von einer zugeführten Leistung tatsächlich dort ankommt, wo sie gebraucht wird, also in Nutzleistung verwandelt wird. Für eine ausführliche Erklärung schau im letzten Kapitel unter Wirkungsgrad (Seite 54) nach. Er gilt jedenfalls unter Umständen auch für die aufgewendeten Energien und Kräfte, nicht nur für die Leistungen:
Dabei haben wir die Zeit t und den zurückgelegten Weg x gekürzt, was nur geht, wenn diese exakt gleich sind. Das ist – je nach Betrachtung – nicht immer der Fall, aber man kann vereinfachend mal davon ausgehen, dass sie gleich sind. Obige Rechnung braucht dich nicht zu beunruhigen! So etwas wird in der Prüfung nicht verlangt!
Letztlich brauchst du nur Folgendes:
Bei 30% Wirkungsgrad kommen von den 5000 Newton eben nur 1500 Newton wirklich auf die Straße. Aus einer Kraft kann man immer eine Beschleunigung errechnen, aus einer Beschleunigung dann eine Geschwindigkeit. Die Formeln dafür lauten:
Die Formel (2) ist übrigens das sogenannte Newtonsche Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz. Einsetzen in beide Formeln ergibt Folgendes:
Das Auto fährt also nach 3 Sekunden beschleunigter Bewegung mit einer Geschwindigkeit von 16,2km/h. Bemerkung: in diesem Fall ist die Beschleunigung im Gegensatz zur Beispielaufgabe I NICHT unabhängig von der Masse. Ein schwereres Auto wird bei konstanter Kraft langsamer beschleunigt als ein leichteres. Dass die Erdbeschleunigung unabhängig von der Masse ist, liegt daran, dass die Erdanziehungskraft von der Masse abhängig ist und sich die Masse daher heraus kürzt (siehe Beispielaufgabe I, Seite 9).
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