– действительные или вещественные числа, обозначаемые через R, это числа, представляющий собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначаются через R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, это множество также включает в себя множество иррациональных чисел I, не представимых в виде отношения целых.
И наконец, одно из самых известных на сегодня множеств, пятое множество – комплексное множество C, состоящее из чисел, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть представлены через вещественную и комплексные части, с участием мнимой единицы, которая в чётных степенях даёт -1. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число – действительным алгебраическим. Более общими классами чисел, чем алгебраические, являются периоды – числа, выражающие объём в n-мерном пространстве, вычислимые – число выводимое при помощи заданного алгоритма с сколь угодной точностью и арифметические числа – множество натуральных чисел, определяющиеся формулой первой степени.
Но перед тем, как будет совершён переход на следующий этап, важно несколько остановится на некотором из данных множеств.
Углубляясь в историю древних цивилизаций, можно сделать вывод что с древних времен люди ввели систему счета. В первобытные времена как можно догадаться уровень развитости людей на планете был на низшем уровне, несмотря на это они учились выживать в те суровые времена, учились охотиться, добывать еду. По древним рисункам на скалах, которые археологи находят посей день, можно сделать вывод, что система счета была неприемлемой частью жизни того народа.
Они считали: сколько (добычи) было собранно, сколько можно сегодня израсходовать, а сколько оставить до конца следующей охоты. Следовательно, множество натуральных чисел – это числа, используемые при счете. Обозначение их, как и было указано – N, и входят в это множество числа от {1,2,3,4… до бесконечности}. Множество натуральных чисел занимает первый ряд среди всех множеств чисел. Над натуральными числами можно проводить несколько арифметических операций:
Сложение (1.1):
Умножение (1.2):
Вычитание (1.3):
При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, иначе в результате получится отрицательное число или ноль, то есть число уже не будет принадлежать множеству натуральных чисел;
Деление (1.4):
Деление с остатком (1.5):
При этом сложение и умножение коммутативны и
