для Бельгии и Франции, Перл и Рид также недооценили приемлемый максимум населения США. К 2018 году оно превысило 325 млн, что почти на 65 % больше их расчетов максимальной предельной нагрузки (рис. 1.14) – даже с учетом того, что 40 % урожая кукурузы, крупнейшей сельскохозяйственной культуры США, перерабатывают в этиловый спирт и страна является крупнейшим в мире экспортером продуктов питания. Но Перл не сомневался в прогностической силе своего уравнения: в 1924 году он «скромно» сравнил кривую с законом движения планет Кеплера и законом о газах Бойля (Pearl, 1924, 585).
Рис. 1.14. Прогноз роста населения США на основе логистической кривой (точка перегиба в 1919 году, асимптота на уровне 197,3 млн), согласованный с переписью населения, проводившейся раз в десять лет в период между 1790 и 1910 годами (Pearl and Reed, 1920)
Применение функции логистического роста начало распространяться. Робертсон использовал информацию о росте молочных коров, домашней птицы, лягушек, однолетних растений и фруктовых деревьев в своем объемном исследовании под названием The Chemical Basis of Growth and Senescence («Химические основы роста и старения») (Robertson, 1923). Год спустя Спиллман и Ланг (Spillman and Lang, 1924) подробно изложили Закон убывающего плодородия, приведя множество количественных описаний ограниченных темпов роста. Рид и Берксон (Reed and Berkson, 1929) применили логистическую функцию к нескольким бимолекулярным реакциям и протеолизу гелеобразования с помощью панкреатина, а Блисс (Bliss, 1935) использовал ее для расчета кривой зависимости смертности вредителей от дозировки пестицидов. И в течение двадцати лет до Второй мировой войны Перл и его коллеги применяли логистическую кривую «к популяциям почти всех живых существ от плодовых мушек до населения французских колоний в Северной Африке, а также росту дынь канталуп» (Cramer, 2003, 6).
В 1945 году Харт опубликовал всестороннее исследование логистических социальных тенденций со множеством примеров, поделенных на серии, отражающие рост конкретных социальных единиц (населения, городов, урожая, производства и потребления промышленных продуктов, выдачи патентов на изобретения, длины железных дорог), распространение конкретных культурных явлений (охват детей школьным образованием, владение автомобилями, социальные и гражданские движения) и так называемые индексы социальной эффективности, включая продолжительность жизни, рекорды скорости и доход на душу населения (Hart, 1945). В течение двадцати лет после окончания Второй мировой войны наблюдался быстрый рост населения и экономический рост, вызванный расширением технических возможностей. В тот период преобладали многочисленные примеры экспоненциального роста, но с ростом экологического сознания в конце 1960-х и 1970-х логистическая функция снова получила популярность. Неудивительно, что существует множество публикаций о том, как описать данные с помощью логистической кривой (Cavallini, 1993; Meyer et al., 1999; Arnold, 2002; Kahm et al., 2010; Conder, 2016).
Существует еще одна довольно распространенная модель роста – кривая Гомпертца, выведенная еще раньше функции Ферхюльста. Изначально модель была предложена в 1825 году Бенджамином Гомпертцем (1779–1865), британским математиком,
