говоря, об историческом Евклиде сказать почти нечего, поскольку нам о нем практически ничего и не известно. Он жил и работал в большом городе Александрия в Северной Африке примерно за 300 лет до нашей эры. И это все, что мы знаем. Его «Начала» – это собрание знаний по геометрии греческих математиков того времени; на десерт в конце книги добавлены основы теории чисел. Значительная часть материала была известна математикам еще до Евклида, но радикально новым и революционным шагом стала организация этого массива знаний. Из небольшого количества аксиом, в которых почти невозможно сомневаться[37], шаг за шагом выводится весь аппарат теорем о треугольниках, прямых, углах и окружностях. До Евклида – если это и правда был Евклид, а не целый коллектив геометров из Александрии, творивший под этим псевдонимом, – такую структуру было невозможно представить. Зато впоследствии она стала моделью для всего замечательного в знании и мышлении.
Конечно, существует и другой способ преподавать геометрию, который делает упор на изобретательность и пытается поместить учащегося в кресло Евклидова пилота, чтобы тот мог самостоятельно создавать определения и смотреть, что из них получится. Один из таких учебников, «Изобретательная геометрия», исходит из предпосылки, что «единственное настоящее образование – это самообразование». Не смотрите на конструкции других людей, советует книга, «по крайней мере пока не откроете собственную конструкцию», – и вы не будете беспокоиться и сравнивать себя с другими учениками: все занимаются в собственном темпе, и вы с большей вероятностью усвоите материал, если вам нравится им заниматься. Сама книга – всего лишь последовательность из 446 головоломок и задач. Одни достаточно просты: «Можете ли вы нарисовать три угла двумя прямыми линиями? А четыре угла двумя прямыми линиями?» У других, как предупреждают авторы, на самом деле не может быть решения, и вы оказываетесь в положении настоящего ученого[38]. А третьи, как и самый первый из вопросов, и вовсе не имеют четкого «правильного ответа»: «Поставьте куб[39] на стол гранью к себе и скажите, что вы считаете толщиной, что – шириной, а что – длиной»[40]. В целом это всего лишь своего рода «ориентированный на ребенка» исследовательский подход, который высмеивают традиционалисты, считая несоответствующим современному образованию. Книга вышла в 1860 году.
Несколько лет назад в математической библиотеке Висконсинского университета появилась огромная коллекция старых учебников, по которым учились школьники штата последние сто или около того лет[41], но в итоге от них отказались в пользу более новых вариантов. Глядя на эти потрепанные книги, понимаешь: все споры об образовании уже разворачивались не раз. Все, что мы считаем новым и странным (например, книги наподобие «Изобретательной геометрии», где учеников просят самостоятельно придумывать доказательства; математические
За исключением одной, но этот спорный постулат о параллельных прямых и начавшийся с него двухтысячелетний путь к неевклидовой геометрии обсуждается во многих других местах и здесь будет лишь упомянут.
– Голубчики, – сказал Федор Симеонович озабоченно, разобравшись в почерках. – Это же проблема Бен Бецалеля. Калиостро же доказал, что она не имеет решения.
– Мы сами знаем, что она не имеет решения, – сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать.
– Как-то странно ты рассуждаешь, Кристо… Как же искать решение, когда его нет? Бессмыслица какая-то…
– Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица – искать решение, если оно и так есть. Речь идет о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос…
Стругацкие А. и Б. «Понедельник начинается в субботу».
Поставьте куб: William George Spencer, Inventional Geometry: A Series of Problems, Intended to Familiarize the Pupil with Geometrical Conceptions, and to Exercise His Inventive Faculty (New York: D. Appleton, 1877), 16. Британское издание появилось в 1860 году.
Это действительно плохо поставленный вопрос: при такой расстановке очевидно, что назвать шириной, высотой и глубиной. Видимо, тут имеется тонкое различие в описании «с точки зрения куба», у которого нет выделенных длины, ширины и толщины, потому что они равны, и со стороны внешнего наблюдателя, который использует естественные для него координаты в трехмерном пространстве.
В одной из книг по арифметике, последний раз использованной в 1930 году, я нашел пометку карандашом: «Смотри страницу 170»; на 170-й странице было другое указание: «Смотри страницу 36», где я увидел новую команду, и т. д., пока не добрался до последней страницы, где было написано: «Ты дурак!» Десятилетний мальчик разыграл меня с того света.
