физики в определенной области пространства, если заданы свойства решения на ограничивающей эту область поверхности. В основном решена (вклад внесли многие математики).
21. Существование дифференциальных уравнений с заданной монодромией. Особый тип комплексного дифференциального уравнения, в котором можно разобраться при помощи данных о его точках сингулярности и группе монодромии. Доказать, что может существовать любая комбинация этих данных. Ответ «да» или «нет» в зависимости от интерпретации.
22. Униформизация с использованием автоморфных функций. Технический вопрос об упрощении уравнений. Решил Пауль Кебе вскоре после 1900 г.
23. Развитие вариационного исчисления. Гильберт призывал к выдвижению новых идей в области вариационного исчислении. Многое сделано, но формулировка слишком неопределенная, чтобы задачу можно было считать решенной.
2
Алгоритм Агравала – Каяла – Саксены выглядит так:
• Если n представляет собой точную степень меньшего числа, выдаем СОСТАВНОЕ.
• Находим наименьшее r, такое, что наименьшая степень r, равная 1 по модулю n, больше или равна (log n)².
• Если какое-либо число, меньшее или равное r, имеет общий делитель с n, выдаем СОСТАВНОЕ.
• Если n меньше или равно r, выдаем ПРОСТОЕ.
• Для всех целых чисел a от 1 до определенного предела проверяем, совпадает ли многочлен (x + a)n с многочленом xn + a по модулю n и по модулю xr − 1. Если в обоих случаях ответ положительный, выдаем СОСТАВНОЕ.
• Выдаем ПРОСТОЕ.
3
Примером того, что я имею в виду, может служить формула, где квадратные скобки обозначают наибольшее целое число, меньшее или равное их содержимому. В 1947 г. У. Миллс доказал, что существует действительная константа A, такая, что для любого n вычисленное по этой формуле значение будет простым. Если считать гипотезу Римана верной, то минимальное значение A, удовлетворяющее условию, равно приблизительно 1,306. Однако эта константа определяется при помощи подходящей последовательности простых чисел, а формула – всего лишь символьный способ записи этой последовательности. Подобные формулы, включая некоторые из тех, что представляют все простые числа, представлены также на сайтах:
