розова
© Николай Морозов, 2024
ISBN 978-5-0062-9007-5
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
Решение дифференциальных уравнений первой и второй степени с помощью ИИ.
ВАРИАНТ 1.
1.1. Решить дифференциальное уравнение y’ – y = e^x. Выполнить проверку
ChatGPT 3.5 (Маша)
Для решения дифференциального уравнения y’ – y = e^x, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения y’ – y = 0.
Характеристическое уравнение для этого уравнения: r – 1 = 0, откуда r = 1. Таким образом, общее решение однородного уравнения это y_h = C * e^x, где C – произвольная постоянная.
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения e^x является экспоненциальной функцией, предположим, что частное решение имеет вид y_p = a * e^x, где a – некоторая константа, которую нужно найти.
Подставив y_p в исходное уравнение y’ – y = e^x, получим:
a * e^x – a * e^x = e^x, 0 = e^x.
Это уравнение не имеет решений, поэтому нужно скорректировать наше предположение. Так как правая часть уравнения e^x участвует в общем решении однородного уравнения, чтобы найти частное решение, умножим на x: y_p = a * x * e^x.
Теперь подставим эту функцию в исходное уравнение:
(a * e^x + a * x * e^x) – a * x * e^x = e^x,
a * e^x = e^x, a = 1.
Поэтому частное решение y_p = x * e^x. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения y = y_h + y_p = C * e^x + x * e^x.
Для проверки решения можно подставить y и y’ обратно в исходное уравнение y’ – y = e^x и убедиться, что равенство выполняется для всех значений x.
Подставьте!
ChatGPT 3.5 (Маша)
Хорошо, подставим найденное частное и общее решение в исходное дифференциальное уравнение y’ – y = e^x для проверки:
Общее решение однородного уравнения: y_h = C * e^x, где C – произвольная постоянная.
Частное решение неоднородного уравнения: y_p = x * e^x.
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C * e^x + x * e^x.
Теперь возьмем производные по очереди:
Найдем y’: y’ = (C * e^x)» + (x * e^x)». Учитывая производные экспонент и произведения функций, получаем: y’ = C * e^x + e^x + x * e^x.
Подставим y и y’ в уравнение y’ – y = e^x: (C * e^x + e^x + x * e^x) – (C * e^x + x * e^x) = e^x.
Сокращаем одинаковые члены:
e^x = e^x.
Получили верное тождество, что подтверждает, что найденное решение y = C * e^x + x * e^x удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению y’ – y = e^x.
Решить y’ – y = e^x. Проверить решение
ChatGPT на Русском – Chat GPT
Для уравнения (y’ – y = e^x), общее решение можно представить в виде (y = C \cdot e^x + x \cdot e^x), где (C) – произвольная постоянная, «\cdot» эквивалентно знаку умножения «*».
Теперь найдем производную (y’):
[y’ = C \cdot e^x + e^x + x \cdot e^x]
Подставим (y) и (y’) обратно в исходное уравнение:
[y’ – y = (C \cdot e^x + e^x + x \cdot e^x) – (C \cdot e^x + x \cdot e^x) = e^x]
(e^x) слева и справа уравнения сокращаются, следовательно, уравнение верно для всех значений (x). Таким образом, общее решение (y = C \cdot e^x + x \cdot e^x) верно для уравнения (y’ – y = e^x).
Решить y’ – y = e^x. Проверить решение
GPTutor
Для решения данного линейного дифференциального уравнения первого порядка у – у = е х используем метод интегрирующего множителя.
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «Литрес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.
