вопросы о множествах, причем о множествах, широко использующихся в математических исследованиях. Требовались новые, дополнительные принципы, позволяющие лучше организовать мир множеств и наделить множества более определенными свойствами. В качестве таких принципов были предложены, в частности, аксиома выбора (1904 г.) и аксиома детерминированности (1964 г.).
Аксиома выбора сразу же вызвала серьезные возражения как своей формулировкой, не похожей на формулировки других теоретико-множественных аксиом, так и своими следствиями, утверждающими существование множеств, лишенных какой-либо индивидуальности, но влекущих следствия, утверждающие существование множеств, свойства которых кажутся явно парадоксальными. В частности, аксиома выбора позволила доказать разбиение шара (поверхность+внутренность) на конечное число частей, из которых без наложений и пустот составляются два шара того же радиуса.
Как было показано, к теории множеств можно присоединять без противоречия как саму аксиому выбора, так и ее отрицание. Это означает, что эту аксиому нельзя ни доказать, ни опровергнуть традиционными средствами математических рассуждений. Однако чем более абстрактными являются математические объекты, попадающие в область исследования, тем в большей степени оказывается необходимой аксиома выбора. При изучении общих топологических пространств, произвольных множеств, мощностей и порядковых чисел эта аксиома оказывается органически включенной в структуру многих построений и рассуждений.
Следствия аксиомы детерминированности, как правило, противоречат следствиям аксиомы выбора, но обычно более согласованы с естественной интуицией множеств. Аксиома детерминированности позволяет, кроме того, решить многие из тех проблем, которые не поддаются решению с помощью аксиомы выбора.
Решающим следствием в пользу принятия аксиомы детерминированности является богатство ее следствий во многих разделах теории множеств, дающих удивительно стройную и согласованную картину мира множеств. Данная аксиома пригодна не только для устранения парадоксальных множеств, даваемых аксиомой выбора, но и для построения таких примеров множеств, которые вообще нельзя получить с помощью последней.
Таким образом, аксиома выбора и аксиома детерминированности нередко порождают противоположные следствия в тех областях, где они применимы. Какую из этих двух аксиом следует принять в качестве расширения традиционной теории множеств? Развитие математических дисциплин, связанных с основаниями математики, пока не дает окончательного ответа на этот вопрос.
«Аргументированный выбор между аксиомой выбора и аксиомой детерминированности возможен, вероятно, только путем сравнения красоты и богатства теорий, построенных на этих аксиомах, а также сравнения согласованности следствий аксиомы выбора и аксиомы детерминированности со складывающейся математической интуицией»
