2012 г. Лоран Бартольди и Андре Энрикес заинтересовались тем, какую фигуру образует апельсиновая кожура, если ее аккуратно выложить на плоскости. Воспользовавшись тонким ножом и тщательно следя за тем, чтобы полоска кожуры везде имела одинаковую ширину, они выложили на столе красивую двойную спираль. Получившаяся фигура напомнила им одну известную математическую кривую – двойную спираль, известную под несколькими разными названиями: спираль Корню, спираль Эйлера, клотоида, или кривая Спиро.
Эта кривая известна с 1744 г., когда Эйлер открыл одно из ее основных свойств. Кривизна этой кривой (1/r, где r – радиус оптимально подогнанной окружности) в любой заданной точке пропорциональна расстоянию вдоль кривой от середины кривой до этой точки. Чем дальше уходишь вдоль кривой, тем плотнее она сворачивается; именно поэтому ее спиральные участки закручиваются все плотнее. Физик Мари Альфред Корню наткнулся на эту же кривую в физике света, при преломлении света на прямой кромке. Инженеры-путейцы используют эту кривую при проектировании плавного перехода от прямого участка пути к повороту.
Бартольди и Энрикес доказали, что сходство между апельсиновой кожурой и спиралью Корню не случайно. Они записали уравнение, описывающее форму полоски апельсиновой кожуры для любой фиксированной ширины, и доказали, что чем меньше ширина полоски, тем сильнее ее форма приближается к форме спирали. При очень маленькой ширине форма фигуры становится похожей на спираль Корню со сколь угодно высокой точностью. Они отметили также, что эту спираль «открывали много раз в истории; наша, например, появилась за завтраком».
Дополнительную информацию см. в главе "Загадки разгаданные".
Как выиграть в лотерею?
Пожалуйста, обратите внимание на вопросительный знак в заголовке.
Чтобы выиграть джекпот в Национальной лотерее Великобритании (бездарно переименованной в Lotto), необходимо, чтобы шесть чисел от 1 до 49, выбранные вами заранее, совпали с числами, которые выберет лотерейный автомат в день розыгрыша. Существуют способы выиграть призы поменьше, но давайте сосредоточимся на максимальном результате. Шары вынимаются машиной в случайном порядке, но затем выстраиваются по возрастанию, чтобы участникам лотереи проще было определить, выиграли ли они что-нибудь. Поэтому если машина выберет следующие шары:
13 15 8 48 47 36,
то результат будет выдан в виде
8 13 15 36 47 48;
наименьшее число здесь, очевидно, равно 8, следующее – 13 и т. д.
Теория вероятностей говорит нам, что если любое число может выпасть с равной вероятностью (как и должно быть), то в пределах выбранного комплекта из шести чисел:
• наиболее вероятное наименьшее число равно 1;
• наиболее вероятное следующее по величине число равно 10;
• наиболее вероятное третье по величине число равно 20;
• наиболее вероятное четвертое по величине число равно 30;
• наиболее вероятное
