математические модели сами по себе, мы понимаем, что у них есть некоторого рода собственная жизнь, часто полезная (а иногда также и опасная), поскольку такие модели полностью независимы от реальности, которую они моделируют. Кажется, будто это говорит о том, что такие модели заслуживают, чтобы их рассматривали тоже как объекты. Верно ли это?
Ответ состоит в том, что это верно и что надо просто понять, что математическая модель есть математический объект, чье существование и структуру можно исследовать с помощью математических критериев объективности. Поскольку нас здесь интересуют эмпирические науки, в нашу задачу не входит объяснение того, как может пониматься математическая объективность. Для простоты мы могли бы сказать вкратце, что математика тоже должна иметь свои критерии протокольности, которые также должны быть по своему характеру операциональными (мы уже дали кое-какие намеки на это ранее). И мы могли бы согласиться отождествить (для наглядности) эти операциональные критерии с операциями карандашом на бумаге, о которых говорили Бриджмен и другие операционалисты. Но теперь выходит на свет недоразумение, заложенное в тезисе операционалистов, что во всякой науке всякое понятие определяется операционально просто с помощью таких операций карандашом на бумаге[127]. Ошибка кроется в том, что в то время как операции карандашом на бумаге подходят для определения математических объектов, в физике проблема состоит в определении физического объекта, но делают этот объект физическим не такие оперции, а другие. Когда проблема состоит в определении структуры физического объекта, математика, конечно, должна использоваться, но опять-таки не как операциональное средство определения; она используется просто как средство построения математической модели.
Можно также видеть, что отождествление нами научного объекта с чем-то математически структурированным может устранить затруднение, о котором мы говорили, когда говорили об инвариантности как типичном признаке объективности. Тогда мы упомянули об одном возможном возражении, состоящем в том, что инвариантность – свойство, которое может быть разумным образом приписано математической формулировке физических законов или математическому описанию физических событий, но не самим этим событиям. Теперь мы видим, как легко можно ответить на это возражение, стоит только признать, что у самого физического объекта может быть математическая структура: инвариантность, спонтанно допускаемая для объектов, вполне естественно может пониматься как математическая инвариантность.
Мы завершим этот раздел парой замечаний, которые, может быть, не могут быть вполне оценены сейчас, но смысл которых станет очевидным позднее. Научные объекты, как мы их охарактеризовали, могут считаться абстрактными, поскольку они полностью и недвусмысленно определяются как множества отобранных атрибутов, организованных в интеллектуально спланированную структуру.
Этот тезис можно обнаружить, например, в следующем высказывании Бриджмена: «Большинство этих нефизических операций – операции математики и логики; в случае современной волновой механики особенно очевидно, что многие из ее конструктов принадлежат к этому типу. Разнообразие таких возможных операций «карандашом на бумаге», несомненно, больше, чем разнообразие обычных лабораторных операций… Многие из построенных таким образом «карандашом на бумаге» моделей очень ценны» (Bridgman 1950, p. 15).
