когорте возраста а и принадлежащего к классу продуктивности к, в периоде t обозначен через с(а, t, к). Время, которое данный агент тратит на досуг, обозначено через l(а, t, к), а е является специальным параметром полезности от индивидуального досуга. Однопериодная функция полезности агента является CES-функцией от потребления и времени индивидуального досуга, а соответствующий параметр внутривременной эластичности замещения обозначен через р. Вероятность, с которой агент, чей возраст в периоде t равен а, доживет до периода i, обозначена через Р(а, i, t). Смертность в модели не зависит от класса продуктивности агента. Параметры δ и γ характеризуют межвременные предпочтения домохозяйств.
Общая собственная полезность агента, таким образом, равна сумме взвешенных CES-агрегаторов будущего потребления и досуга, а взвешивающими множителями выступают вероятности дожития и факторы временных предпочтений.
Полезность, которую агент получает от уровня потребления его детей, имеет вид, сходный с видом функции собственной полезности. Так в полезность родителя входит дисконтированная сумма полезности от будущего потребления всех его детей, включая тех, чье рождение ожидается в будущем. Вид соответствующей функции следующий:
В периоде t рассмотрим агента, который относится к когорте возраста a и классу производительности k. Число детей, которые у него будут, когда агент достигнет возраста i, обозначим через KID(a, i, t, k), а потребление каждого ребенка – через cK(a, i, t, k).
Если ввести дополнительное обозначение d(a, z, t) для вероятности, с которой агент заданного поколения умрет в возрасте равном ровно z, то вероятность дожития P(a, i, t) можно представить в виде:
Совокупная стоимость активов, которыми в периоде t располагает агент, относящийся к классу производительности k и принадлежащий поколению возраста a, обозначим через A(a, t, k). В каждом периоде агент получает доход от предложения труда, платит налоги и получает трансферты, получает наследство от родителя и затрачивает средства на собственное потребление и потребление своих детей. В соответствии с предположениями модели, в каждый период времени у агента есть общий запас времени, который он может распределить между досугом, входящим в его функцию полезности, и рабочим временем. Общий запас доступного времени обозначим как h(a, t), тогда время, которое агент будет предлагать на рынке труда, равно h(a, t) – l(a, t, k). Обозначив зарплату, выплачиваемую за единицу рабочего времени, через w(t, k), можно получить выражение для трудового дохода агента в виде:
Общие затраты на потребление (собственное и потребление детей) представляются в виде:
Наследство, полученное агентом, обозначим как I(a, t, k). Чистую стоимость уплачиваемых агентом налогов обозначим через T(a, t, k). Тогда, если обозначить ставку доходности как r(t), уравнение, описывающее динамику стоимости активов, принадлежащей
