логики «…чего удалось достичь благодаря языку формул в математике, то же должно быть получено с его помощью и в теоретической логике, а именно: точная научная трактовка ее предмета. Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д. находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении» [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 17].
Именно поэтому особенно интересно сопоставить знаковое и словесное выражение для аксиом формальной системы.
Рассматривая приведенный выше фрагмент логического текста нетрудно заметить следующие его особенности:
знак F (y) в формулах e) и f) трактуется по-разному и имеет два смысла. В е) – F выполняется для любого y. В f) F выполняется для какого-нибудь y.
По-видимому, различение этих смыслов связано с местом F (y) в формулах – в одном случае – на месте консеквента, в другом – на месте антицедента. Различие в смысле, однако, очень велико и никак специально не оговорено.
Совершенно неясно, что имеется в виду в этих текстах под x и y. То ли это объекты, принадлежащие области индивидуумов, то ли это имена объектов, то ли имена ролей [Дорфман, Сергеев, 1983]. Неясно, различны ли объекты, обозначенные разными именами, а также какие из них потенциальны, а какие актуальны. По-видимому, х обозначает потенциальный объект, а y – актуальный.
Уже такой поверхностный анализ показывает, что чтение указанных формул предполагает определенный способ понимания формул, о котором в тексте ничего не говорится, хотя этот текст вводит аксиомы, т.е., обязан содержать интуитивно исчерпывающее описание способа понимания формул. Аналогичные примеры в [Гильберт, Аккерман, 1947] можно с легкостью умножить.
К сожалению, подобное пренебрежение семиотическими различениями и даже сознательная эксплуатация возникающих двусмысленностей заметно не только в «Основах теоретической логики» [Гильберт, Аккерман, 1947], являющейся одной из первых работ по математической логике.
В качестве другого примера рассмотрим язык SELF, предложенный Шмульяном для формализации феномена «самоописания», присутствующий в известном логическом «парадоксе лжеца» [Манин, 1979, с. 78].
«Алфавит SELF: E, * * (симметричные кавычки).
r (отношение ранга I); ¬)(отрицание).
Синтаксис SELF. К отмеченным выражениям принадлежат: ярлыки, экспонаты, формулы и имена.
Ярлык любого выражения Р – это *Р* (Р в кавычках).
Экспонат любого выражения Р – это Р *Р* («вещь с ярлыком»).
Формулы – это выражения вида r E… E *P* и ¬ r E … E *Р*.
Здесь Е стоит на К > 0 местах после r. Сокращенная запись:
r Ек *Р* или ¬ r Ек *Р*. Наконец, введем бинарное отношение на множестве всех выражений «быть именем». Оно определяется рекурсивно:
1. Ярлык Р является именем Р.
2. Если Р – имя Q, то ЕР – имя экспоната Q, т.е. имя выражения Q *Q*».
После этих определений утверждается, что «Е*Е* является одним из двух своих
