любую функцию с произвольной точностью, просто приписывая соответствующие значения числам, которыми характеризуются силы синаптических связей. Другими словами, эволюция, вероятно, сделала наши биологические нейроны такими сложными не потому, что это было необходимо, а потому, что это было более эффективно, и потому, что эволюция, в отличие от инженеров-людей, не получает наград за простоту и понятность предлагаемых конструкций.
Рис. 2.10
Вещество может производить умножение, используя не гейты NAND, как на рис. 2.7, а нейроны. Для понимания ключевого момента здесь не требуется вникать в детали, достаточно только отдавать себе отчет, что нейроны (как биологические, так и искусственные) не только способны производить математические действия, но их для этого требуется значительно меньше, чем гейтов NAND. Вот еще факультативные детали для упертых фанатов математики: кружочками обозначено сложение, квадратики обозначают применение функции σ, а прямые отрезки – умножение на число, которое этот отрезок пересекает. На входе – вещественное число (слева) или бит (справа). Умножение становится сколь угодно точным при а → 0 (слева) и при с → ∞ (справа). Левая сеть работает при любой функции σ(х), имеющей изгиб в нуле σ”(0) ≠ 0), что можно доказать разложением функции σ(х) по формуле Тейлора. Для сети справа надо, чтобы функция σ(х) стремилась к нулю и к единице при очень малых и очень больших х соответственно, так чтобы соблюдалось условие uvw = 1, только когда u + v + w = 3. (Эти примеры взяты из статьи моего студента Генри Лина: https://arxiv.org/abs/1608.08225, проверена 18 мая 2018.) Комбинируя умножения и сложения, можно вычислять любые полиномы, с помощью которых, как известно, мы можем получить апроксимацию любой гладкой функции.
Впервые услышав об этом, я был озадачен: как что-то до такой степени простое может вычислить нечто произвольно сложное? Например, как вы сможете даже просто-напросто что-то перемножать, когда вам разрешено только вычислять взвешенные средние значения и применять одну фиксированную функцию? Если вам захочется проверить, как это работает, на рис. 2.10 показано, как всего пять нейронов могут перемножать два произвольных числа и как один нейрон может перемножить три бита.
Хотя вы можете доказать теоретическую возможность вычисления чего-либо произвольно большой нейронной сетью, ваше доказательство ничего не говорит о том, можно ли это сделать на практике, располагая сетью разумного размера. На самом деле, чем больше я об этом думал, тем больше меня удивляло, что нейронные сети и в самом деле так хорошо работали.
Предположим, что у вас есть черно-белые мегапиксельные фотографии, и вам их надо разложить в две стопки – например, отделив кошек от собак. Если каждый из миллиона пикселей может принимать одно из, скажем, 256 значений, то общее количество возможных изображений равно 2561000000, и для
