еще весьма отдаленно, но все более отчетливо указывает на некоторый облик концептуального мышления.
Добавим к этой мозаике еще несколько деталей.
Про пользу абстракций
Уже был найден способ строгой работы с абстракциями
Если сущностные корни концептуального мышления прорастали в философии, то формальные – могли появиться только в математике.
Наверное, в ходе пристрастного исследования можно было бы найти самые древние следы попыток придать завершенную, математическую строгость логике. Однако это состоялось лишь в прошлом веке. Укажу лишь на вершинную «точку» этого интеллектуального пути – на построение Д. Гильбертом целостной теории доказательств или метаматематики. В 1925 году он писал: «Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике – в этом образце достоверности и истинности – образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку? Но существует вполне удовлетворительный путь, по которому можно избежать парадоксов, не изменяя при этом нашей науке».[38]
Для доказательства непротиворечивости математических теорий, с которым и связаны действительные основания математики, Д. Гильберт предложил так называемый аксиоматический метод, или аксиоматическую точку зрения.
Аксиоматический метод (или аксиоматическая точка зрения в узком смысле) заключается в том, «что из всего материала реальных представлений, используемого для формирования основных понятий данной теории, при аксиоматическом ее построении мы принимаем в расчет лишь то, что в виде некоторого экстракта формулируется в ее аксиомах, а от всего остального содержания абстрагируемся…. В аксиоматической теории нам приходится иметь дело с некоторой фиксированной системой вещей (или даже с несколькими такими системами), образующей область субъектов для всех тех предикатов, из которых строятся высказывания этой теории».[39]
Предикат (лат. praedicatum) – логическое сказуемое; то, что в суждении высказывается о предмете суждения, о субъекте.
Впоследствии именно аксиоматический метод определения понятий придал не только математике, но и концептуальному мышлению конструктивную силу. Утверждение аксиоматической точки зрения на логику доказательств послужило мощным толчком, прежде всего, для развития математики, и лишь существенно позже – для развития концептуального мышления.
Между этими событиями состоялось еще одно – сращивание аксиоматического метода с теорией множеств. В наиболее завершенной форме это сделали в середине 60-х годов прошлого века французские математики, объединившиеся под собирательным псевдонимом Николя
