E. Чем ближе они друг к другу, тем круче уклон. Направление самого крутого уклона всегда перпендикулярно контурам. Его можно выразить в виде вектора, называемого градиентом.
Пора разработать высокоуровневую стратегию нахождения значений весов, которые сведут к минимуму функцию потерь. Допустим, мы случайным образом инициализируем веса сети, оказавшись где-то на горизонтальной поверхности. Оценив градиент в текущей позиции, мы можем найти направление самого крутого спуска и сделать шаг в нем. Теперь мы на новой позиции, которая ближе к минимуму, чем предыдущая. Мы проводим переоценку направления самого крутого спуска, взяв градиент, и делаем шаг в новом направлении. Как показано на рис. 2.3, следование этой стратегии со временем приведет нас к точке минимальной ошибки. Этот алгоритм известен как градиентный спуск, и мы будем использовать его для решения проблемы обучения отдельных нейронов и целых сетей[10].
Рис. 2.3. Визуализация поверхности ошибок как набора контуров
Дельта-правило и темп обучения
Прежде чем вывести точный алгоритм обучения фастфудного нейрона, поговорим о гиперпараметрах. Помимо весов, определенных в нашей нейросети, обучающим алгоритмам нужен ряд дополнительных параметров. Один из этих гиперпараметров – темп обучения.
На каждом шаге движения перпендикулярно контуру нам нужно решать, как далеко мы хотим зайти, прежде чем заново вычислять направление. Это расстояние зависит от крутизны поверхности. Почему? Чем ближе мы к минимуму, тем короче должны быть шаги. Мы понимаем, что близки к минимуму, поскольку поверхность намного более плоская и крутизну мы используем как индикатор степени близости к этому минимуму. Но если поверхность ошибки рыхлая, процесс может занять много времени. Поэтому часто стоит умножить градиент на масштабирующий коэффициент – темп обучения. Его выбор – сложная задача (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Если темп обучения слишком велик, возникают проблемы со сходимостью
Как мы уже говорили, если он будет слишком мал, возможно, процесс займет слишком много времени. Но если темп будет слишком высоким, то кончится это, скорее всего, тем, что мы отклонимся от минимума. В главе 4 мы поговорим о методах оптимизации, в которых используются адаптивные темпы обучения для автоматизации выбора.
Теперь мы готовы вывести дельта-правило для обучения линейного нейрона. Чтобы вычислить, как изменять каждый вес, мы оцениваем градиент: по сути, частную производную функции потерь по каждому из весов. Иными словами, нам нужен такой результат:
Применяя этот метод изменения весов при каждой итерации, мы получаем возможность использовать градиентный спуск.
Градиентный спуск с сигмоидными нейронами
В этом и следующем разделах мы будем говорить об обучении нейронов и нейросетей, использующих нелинейности. В качестве образца возьмем сигмоидный нейрон,
Rosenbloom P. The method of steepest descent // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. 1956. Vol. 6.
