Variante des Mittelwerts ist der getrimmte Mittelwert, den Sie berechnen, indem Sie eine feste Anzahl sortierter Werte an jedem Ende weglassen und dann den Mittelwert der verbleibenden Werte bilden. Für die sortierten Werte x(1), x(2), …, x(n), wobei x(1) der kleinste Wert und x(n) der größte ist, wird der getrimmte Mittelwert mit p kleinsten und größten weggelassenen Werten durch folgende Formel berechnet:
Durch die Verwendung des getrimmten Mittelwerts wird der Einfluss von Extremwerten beseitigt. Zum Beispiel werden bei internationalen Tauchmeisterschaften die höchste und die niedrigste Punktzahl der fünf Kampfrichter gestrichen, und als Endpunktzahl wird der Durchschnitt der Punktzahlen der drei verbleibenden Kampfrichter gewertet (https://oreil.ly/uV4P0). Dies macht es für einen einzelnen Kampfrichter schwierig, das Ergebnis zu manipulieren, etwa um den Kandidaten seines Landes zu begünstigen. Getrimmte Mittelwerte sind sehr verbreitet und in vielen Fällen der Verwendung des gewöhnlichen Mittelwerts vorzuziehen (siehe »Median und andere robuste Lagemaße« auf Seite 11 für weitere Erläuterungen).
Eine weitere Möglichkeit der Mittelwertbildung ist der gewichtete Mittelwert. Zur Berechnung multiplizieren Sie jeden Datenwert xi mit einem benutzerdefinierten Gewicht wi und dividieren die daraus resultierende Summe durch die Summe der Gewichte. Die Formel für den gewichteten Mittelwert lautet dementsprechend:
Den gewichteten Mittelwert verwendet man hauptsächlich aus zwei Gründen:
Einige Werte weisen von sich aus eine größere Streuung auf als andere – um den Einfluss stark streuender Beobachtungen zu verringern, erhalten sie ein geringeres Gewicht. Wenn wir z.B. den Mittelwert von mehreren Sensoren bilden und einer der Sensoren weniger genau misst, können wir die Daten dieses Sensors niedriger gewichten.
Unsere erhobenen Daten repräsentieren die verschiedenen Gruppen, an deren Messung wir interessiert sind, nicht gleichmäßig. Beispielsweise ist es möglich, aufgrund der Art und Weise, wie ein Onlineversuch durchgeführt wurde, einen Datensatz zu gewinnen, der nicht alle Gruppen in der Nutzerbasis wahrheitsgemäß abbildet. Zur Korrektur können wir den Werten der Gruppen, die unterrepräsentiert sind, ein höheres Gewicht beimessen.
Median und andere robuste Lagemaße
Der Median entspricht dem mittleren Wert der sortierten Liste eines Datensatzes. Wenn es eine gerade Anzahl von Datenpunkten gibt, ist der mittlere Wert eigentlich nicht im Datensatz enthalten, weshalb der Durchschnitt der beiden Werte, die die sortierten Daten in eine obere und eine untere Hälfte teilen, verwendet wird. Verglichen mit dem Mittelwert, bei dem alle Beobachtungen berücksichtigt werden, beruht der Median nur auf den Werten, die sich in der Mitte des sortierten Datensatzes befinden. Dies mag zwar nachteilig erscheinen, da der Mittelwert wesentlich empfindlicher in Bezug auf die Datenwerte ist, aber es gibt viele Fälle, in denen der Median ein besseres Lagemaß darstellt. Angenommen, wir möchten die durchschnittlichen Haushaltseinkommen in den Nachbarschaften um den Lake Washington in Seattle unter die Lupe nehmen. Beim Vergleich der Ortschaft Medina mit der Ortschaft Windermere würde die Verwendung des Mittelwerts zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen führen, da Bill Gates in Medina lebt. Wenn wir stattdessen den Median verwenden, spielt es keine Rolle, wie reich Bill Gates ist – die Position der mittleren Beobachtung bleibt unverändert.
Aus den gleichen Gründen wie bei der Verwendung eines gewichteten Mittelwerts ist es auch möglich, einen gewichteten Median zu ermitteln. Wie beim Median sortieren wir zunächst die Daten, obwohl jeder Datenwert ein zugehöriges Gewicht hat. Statt der mittleren Zahl ist der gewichtete Median ein Wert, bei dem die Summe der Gewichte für die untere und die obere »Hälfte« der sortierten Liste gleich ist. Wie der Median ist auch der gewichtete Median robust gegenüber Ausreißern.
Ausreißer
Der Median wird als robustes Lagemaß angesehen, da er nicht von Ausreißern (Extremfällen) beeinflusst wird, die die Ergebnisse verzerren könnten. Ausreißer sind Werte, die sehr stark von allen anderen Werten in einem Datensatz abweichen. Die genaue Definition eines Ausreißers ist etwas subjektiv, obwohl bestimmte Konventionen in verschiedenen zusammenfassenden Statistiken und Diagrammen verwendet werden (siehe »Perzentile und Box-Plots« auf Seite 21). Nur weil ein Datenwert einen Ausreißer darstellt, macht es ihn nicht ungültig oder fehlerhaft (wie im vorherigen Beispiel mit Bill Gates). Dennoch sind Ausreißer oft das Ergebnis von Datenfehlern, wie z.B. von Daten, bei denen verschiedene Einheiten vermischt wurden (Kilometer gegenüber Metern), oder fehlerhafte Messwerte eines Sensors. Wenn Ausreißer das Ergebnis fehlerhafter bzw. ungültiger Daten sind, wird der Mittelwert zu einer falschen Einschätzung der Lage führen, wohingegen der Median immer noch seine Gültigkeit behält. Ausreißer sollten in jedem Fall identifiziert werden und sind in der Regel eine eingehendere Untersuchung wert.
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Anomalieerkennung Im Gegensatz zur gewöhnlichen Datenanalyse, bei der Ausreißer manchmal informativ sind und manchmal stören, sind bei der Anomalieerkennung die Ausreißer von Interesse, und der größere Teil der Daten dient in erster Linie dazu, den »Normalzustand« zu definieren, an dem die Anomalien gemessen werden. |
Der Median ist nicht das einzige robuste Lagemaß. Tatsächlich wird häufig der getrimmte Mittelwert verwendet, um den Einfluss von Ausreißern zu vermeiden. So bietet z.B. die Entfernung der unteren und oberen 10% der Daten (eine übliche Wahl) Schutz vor Ausreißern, es sei denn, der Datensatz ist zu klein. Der getrimmte Mittelwert kann als Kompromiss zwischen dem Median und dem Mittelwert gesehen werden: Er ist robust gegenüber Extremwerten in den Daten, verwendet jedoch mehr Daten zur Berechnung des Lagemaßes.
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Weitere robuste Lagemaße Statistiker haben eine Vielzahl anderer Lagemaße entwickelt, und zwar in erster Linie mit dem Ziel, einen Schätzer zu entwickeln, der robuster und auch effizienter als der Mittelwert ist (d.h. besser in der Lage, kleine Unterschiede hinsichtlich der Lage zwischen Datensätzen zu erkennen). Während diese Methoden für kleine Datensätze durchaus nützlich sein können, dürften sie bei großen oder selbst bei mittelgroßen Datensätzen keinen zusätzlichen Nutzen bringen. |
Beispiel: Lagemaße für Einwohnerzahlen und Mordraten
Tabelle 1-2 zeigt einen Auszug der ersten paar Zeilen eines Datensatzes, der Informationen zu den Einwohnerzahlen und Mordraten für jeden US-Bundesstaat enthält (Zensus 2010). Die Einheit für die Mordrate wurde mit »Morde pro 100.000 Personen pro Jahr« gewählt.
