Декарта, который впервые предложил её в 1637 г. (рис. 33, 34). В этой системе определяется точка, которая называется началом координат или точкой отсчёта.
Рис. 33. Рене Декарт
Рис. 34. Декартова система координат
В этой точке пересекаются три взаимно перпендикулярные прямые, одна из которых называется осью абсцисс, или осью х, вторая – осью ординат (осью у), а третья – осью аппликат (осью z). Очевидно, что в том пространстве, где мы обитаем, большее число взаимных перпендикуляров построить невозможно. Поэтому наше пространство называют трёхмерным. В физике и математике часто рассматриваются пространства с большим числом измерений: от четырёхмерного пространства-времени Минковского до пространств, имеющих бесконечное число измерений в квантовой физике. Однако наглядно представить себе пространство, где имеется больше трёх измерений, невозможно. Можно, наоборот, уменьшить число координат до двух, ограничившись только осями абсцисс и ординат, и получить систему координат на плоскости. Мы уже имели дело с такой системой в § 8, когда знакомились с построением графиков. Полная же система координат, описывающая положение любой точки в пространстве, является трёхмерной. Для того чтобы определить местонахождение этой точки, надо знать три числа, обозначающие проекции[6] этой точки на оси абсцисс, ординат и аппликат (x, у, z). Сумму величин p→=xi→+ yj→+ zk→называют вектором, определяющим положение точки в пространстве. Поскольку оси координат представляют собой бесконечные прямые и каждая из них распространяется в обе стороны от начала координат, то x, y и z могут иметь как положительные, так и отрицательные значения.
Расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве определяют с помощью теоремы Пифагора. Глядя на рисунок, можно легко убедиться в том, что на плоскости расстояние между двумя любыми точками равно:
√¯х2+ y2,
а в пространстве:
√¯x2 + у2 + z2.
В некоторых случаях используют не прямоугольные, а другие системы координат, например цилиндрическую и сферическую. Цилиндрическая система строится следующим образом. Допустим, нам нужно определить положение точки М (рис. 35, А). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и R – расстояние от точки М до координатной оси Oz.
Рис. 35. Цилиндрическая (А) и сферическая (Б) системы координат
Тогда одной из координатных поверхностей (R = const), проходящих через точку М, является цилиндрическая поверхность вращения с осью Oz и радиусом R (поэтому координаты точки М называются цилиндрическими). Если при этом 0 – угол, который плоскость, проходящая через точку М и координатную ось Oz, образует с координатной плоскостью Oxz, то цилиндрическими координатами точки М является упорядоченная тройка чисел (R; θ; Z), где Z – проекция М на ось Oz.
Сферическая
Напомним, что проекцией точки на ось называют расстояние от начала координат до пересечения оси с перпендикуляром, опущенным на неё из этой точки.
