для анализа финансового состояния микроавиационной системы. Для этого запишем ее в следующем виде:
где 2n=т1=(τ1+τ)/ττ1; k2=m2=1/ττ1; τ1=τ+τ0;
Очевидно, что модель (1.31) пригодна для использования в качестве математической модели только в том случае, если она устойчива. Покажем, что это так. Для этого проанализируем состояние микроавиационной системы без влияния внешних воздействий (Q*(t)=0), при этом уравнение (1.31) представим в виде
Это уравнение описывает свободные изменения оборотного капитала D(t) микроавиационной системы. В общем случае при малых начальных возмущениях процесс D(t) может быть либо сходящимся (к D(t0)), что будет означать устойчивость, либо расходящимся – в противном случае.
В соответствии с теорией систем [28, 29] уравнение (1.31) при Q*(t)=0 имеет общее решение D(t)=c1 exp(λ1t)+c2 exp(λ2t), где λ1 и λ2 – корни характеристического уравнения
λ2+2nλ+k2=0.
Покажем, что эти корни действительны и различны, т. е. λ1,2=–n ±
С учетом того, что 2n=(2τ+τ0)/(τ(τ+τ0)) и k2=1/(τ(τ+τ0)), разность n2 – k2={τ30 : [4τ(τ+τ0)]} > 0, поскольку τ > 1, τ0 ≥ 1. Кроме того, полученным значениям n и k соответствуют отрицательные собственные значения.
Сказанное говорит об устойчивости системы (1.31) в соответствии с теорией систем. Это означает, что при принятых условиях микроавиационная система устойчива. При этом оборотный капитал микроавиационной системы при δk(t)=0 останется неизменным, т. е. микроавиационная система, не выделяющая кредиты, не может быть убыточной или прибыльной. При отсутствии прибыли нет и всех тех расходов, которые включены в расходную часть δe(t). Отметим, что в соответствии с существующим законодательством не все налоги оплачиваются, исходя от прибыли. Это, в свою очередь, означает, что модель (1.31) не совсем верна, поскольку при δk(t)=0 выполняется условие δн(t)=0. Для более тщательного анализа необходимо принять δн(t)=γ3Aδk(t – τ)+c1, где c1 – постоянная величина, определенная с учетом действующего законодательства.
С учетом сделанных выводов решение (1.31) запишем в виде
где ch(·) и sh(·) – гиперболические косинус и синус соответственно. Первое слагаемое D1(t)=[D0ch(λt)+(
С их учетом второе слагаемое D2(t) в (1.32) примет форму
Условия прибыльности и убыточности
Определим, при каких ограничениях, накладываемых на параметры системы, и каких управлениях имеют место:
– прибыльность
– убыточность
– крах [Ky(t0)+D(t3)] ≤
