discreta binaria, los consumidores enfrentan dos alternativas 1 y 2. Estas pueden considerarse como dos productos sustitutos que se les ofrecen a los consumidores. Denotemos la realización de εi mediante ei. Dado que los consumidores maximizan su utilidad, un consumidor con realizaciones ei y ej escoge el producto i si Nuestro primer ejemplo especifica que ε se distribuye uniformemente en el intervalo [–L, L]. Entonces, la densidad de probabilidad es f(e) = 1/(2L) si e ∈ [–L, L] y cero de otro modo. Por lo tanto, la demanda (probabilística) para el bien i es 0 si la utilidad observable del bien i es relativamente baja, a saber, si
Aunque un modelo lineal es atractivo por razones computacionales, estos modelos no se desempeñan bien en los análisis empíricos. Una densidad no uniforme particular que se ha aplicado exitosamente a problemas empíricos consiste en suponer que ε = ε2 – ε1 se distribuye logísticamente. Esto es, la función de distribución toma la forma F(e) = 1/[1 + exp{–e/μ}]. Note que la familia de distribuciones logísticas puede parametrizarse en μ, donde un mayor μ incrementa la varianza de la distribución. Normalizamos la masa de consumidores a 1. Entonces, la demanda probabilística tiene la forma
Este modelo particular de elección del consumidor se conoce como el modelo logit binomial y puede aplicarse a mercados de duopolio o a situaciones donde el énfasis se hace en el comportamiento de una empresa particular.
Si especificamos adecuadamente el componente aleatorio εi de cada producto o alternativa disponible, podemos extender el análisis a un mercado con más de dos productos. Supongamos que hay n productos disponibles en el mercado. Debemos especificar la distribución conjunta de (εi)i = 1,…, n. Supongamos que los εi están independiente e idénticamente distribuidos (i.i.d) según la distribución de valor extremo tipo 1.
Donde γ es la constante de Euler (γ ≈ 0.5772) y μ es una constante positiva. Esta función de distribución tiene la propiedad de que su media es 0 y su varianza π2 μ2/6, donde π ≈ 3.141. La función de densidad correspondiente es
Bajo nuestro supuesto respecto al término aleatorio εi, las probabilidades de elección y, por lo tanto, la demanda probabilística, están dadas por la siguiente expresión:
Esta fórmula es el logit multinomial. Note que para n ≥ 3, las probabilidades de elección están dadas por el logit multinomial si y solo si εi son de valor extremo tipo-1, siempre y cuando εi estén i.i.d y la función de distribución acumulativa sea estrictamente creciente en R.[22]
Una justificación axiomática para el supuesto distribucional en el logit multinomial puede obtenerse de la siguiente manera. Denote mediante A el conjunto de elección y mediante Ak el conjunto de elección expandido donde cada alternativa contiene k veces el número de unidades de A. Entonces, bajo el supuesto de que
Una justificación adicional del modelo logit multinomial se basa en dos axiomas: (i) la independencia de las alternativas irrelevantes (esto es, eliminar una alternativa estrictamente dominante del conjunto de elección no afecta las probabilidades de elección) y (ii) la independencia de la trayectoria (esto es, si las elecciones se secuencian escogiendo primero subconjuntos y luego escogiendo dentro de estos subconjuntos, esa secuenciación no afecta las probabilidades de elección). En un modelo probabilístico de elección, estos axiomas se satisfacen si y solo si las probabilidades de elección, y por lo tanto la demanda, son iguales a las del logit multinomial.[23]
5.4.2 Análisis empírico de la diferenciación horizontal de productos
Para estimar empíricamente modelos de diferenciación de productos (donde se supone que las características de los productos están dadas), profundizamos en el modelo logit de la demanda anteriormente trabajado para acercarlo a los datos. Supongamos que los consumidores pueden escoger entre n productos en el mercado y un bien exterior con utilidad
Todos los consumidores tienen el mismo nivel de utilidad media vi y suponemos que este nivel de utilidad media toma la forma
donde xi es el vector de las características observadas del producto y β el vector correspondiente de parámetros. La variable ξi contiene la influencia de todas las características inobservadas y puede interpretarse como la utilidad media derivada de las características inobservadas. Finalmente, γ es el parámetro asociado con el precio. Entonces
En esta ecuación transformada de la participación de mercado, las participaciones de
