с величиной сбережений IC1 (самые обеспеченные), N2 потребителей с величиной сбережений IC2, и т. д., с убыванием значения IC. Как следует из определения, N1 + N2 + … + Ns равно общему числу потребителей в E.
Определение 2. Назовем распределением количества товара по группам качества в момент t вектор M(t) натуральных чисел (M1, M2, …, Mp) соответствующий убывающей величине уровня качества товара z1(t) > z2(t) > … > zp(t). Каждое из значений Mi есть количество товара с указанным уровнем качества:
То есть имеется товара в количестве M1 с уровнем качества z1(t) (самый качественный товар), товара в количестве M2 с уровнем качества z2(t) и т. д., с убыванием значения z. Как следует из определения, M1 + M2 + … + Mp равно общему количеству товара, произведенному в текущем такте
Пусть p ≥ s, тогда примем следующее определение.
Определение 3. Будем говорить, что распределение количества товара по группам качества сегментировано, если для соответствующего ему вектора (M1, M2, …, Mp) и вектора распределения совокупного размера сбережений потребителей (N1, N2, …, Ns) выполнено условие:
M1 = N1, M2 = N2, …, Ms = Ns.
Теорема. При фиксированном распределении совокупного размера сбережений потребителей N(t) значение GDP(t) в (5) достигает максимума тогда и только тогда, когда распределение количества товара по группам качества M(t) сегментировано.
Схема доказательства
Для удобства доказательства далее будем представлять сумму (5) как сумму ненулевых слагаемых, упорядоченных по убыванию, где каждое слагаемое соответствует цене IC, которую заплатил отдельный потребитель. Число слагаемых очевидно равно числу потребителей и фиксированно.
Необходимость. Предположим, что M(t) не сегментировано и GDP(t) достигает своего максимального значения. Тогда существует i, 1 ≤ i ≤ s такой, что M1 = N1, …, Mi ≠ Ni. Рассмотрим два случая:
Mi < Ni
В данном случае число слагаемых в (5) со значением ICi меньше, чем для случая сегментированного M(t) (если бы Mi = Ni). В то же время число слагаемых со значениями IC > ICi такое же, а слагаемых со значениями IC < ICi больше – при одном и том же общем числе слагаемых. Следовательно, значение (5) в указанном случае меньше, чем в случае сегментированного M(t).
Mi > Ni
В данном случае слагаемые в (5) со значением ICi не встретятся, вместо этого будет большее число слагаемых с IC < ICi. При фиксированном числе слагаемых значение (5) меньше, чем в случае сегментированного M(t).
Достаточность. Пусть M(t) сегментировано. В соответствии с алгоритмом покупки товара и в силу сегментированности M(t), в сумме (5) будет N1 слагаемых с максимальным возможным значением IC1 (число таких слагаемых уже нельзя увеличить, а можно только уменьшить, уменьшив общую сумму), N2 слагаемых со значением IC2 (их число также нельзя увеличить) и т. д. до Ns слагаемых с значением
