долго заходит в автобус или велосипедист занял полосу для движения автобусов. Еще один классический пример – количество ламп накаливания, которое вам приходится менять в доме ежегодно. Каждый раз, когда вы включаете свет, есть маленький шанс того, что элемент перегорит. Суммируйте все подобные случаи, и вы получите распределение Пуассона.
Это распределение было названо в честь Симеона Дени Пуассона – француза, который первым описал это явление в начале XIX века. Однако его работа делала акцент на математические уравнения, лежащие в основе распределения, не рассматривая его использование для моделирования на практике. В том смысле, в котором использую его я, распределение применял поляк Ладислав Борткевич, который работал в Германии в 1898 году[6]. Он исследовал два набора данных. Первым был набор жутких статистических данных за 24 года о самоубийствах детей в возрасте до десяти лет. Второй (лишь немногим менее шокирующий) касался солдат, которые умерли после того, как их случайно лягнула или иным образом ударила лошадь. Борткевич в течение двадцати лет изучал по четырнадцать полков ежегодно, отмечая количество солдат, убитых таким образом. Очевидно, он не понял, что всего несколько лет назад была создана Футбольная лига Англии. Этот факт мог предоставить ему все нужные данные без необходимости вникать в статистику смерти Германии.
В обоих наборах данных Борткевич нашел значительное соответствие с распределением Пуассона. Смерти от ударов лошади были редкими. Из 280 полков, которые он изучал, в 144 не было ни одного смертельного случая. Но в двух невезучих полках были зафиксированы по четыре смерти за один год. Используя распределение Пуассона, Борткевич смог показать, что в этих полках не обращались с лошадьми хуже, чем в других, – в тот год им просто не повезло. Возможно (а возможно, и нет), футбол важнее вопросов жизни и смерти, но все три подчиняются одним и тем же правилам.
Сравнение с распределением Пуассона – одна из первых вещей, которые я делаю, когда получаю новые данные. Иногда коллега приходит в мой кабинет с недавно собранными экспериментальными результатами. «Странно, – говорит он. – Большая часть рыбы никогда не плавает вблизи хищника, но есть одна рыбина, которая проплыла мимо него четыре раза! Она должна быть очень смелой или что-то в этом роде». Спустя три минуты я черчу распределение Пуассона и накладываю его на данные моего коллеги. «Нет, твоя рыбина не была особенно смелой. Это была всего лишь статистическая необходимость». Быть преследуемым хищником раз за разом равносильно разгромному поражению со счетом 5:0. Плохо, когда это случается, но это может произойти с каждым.
Распределение Пуассона является нашим первым примером математической аналогии. Оно работает во многих контекстах. Оно работает для футбольных матчей, для лампочки и для смертей от удара лошади. Всякий раз, когда есть основания предположить, что события могут произойти неожиданно, в любое время и независимо от того, сколько событий уже произошло, следует ожидать распределения Пуассона.
Если отойти от футбола,
Всестороннюю историю работы Борткевича можно найти на сайте statprob.com/encyclopedia/LadislausVonBortkiewicz.html. Его книга о законах малых чисел доступна в оригинале на сайте archive.org/details/dasgesetzderklei00bortrich.
