war aber noch nicht das Ende der Geschichte, denn schnell tauchten neue Fragen auf. Wenn man die Maxwell-Gleichungen verwendet, stellt man fest, dass sich die von ihnen beschriebenen Wellen tatsächlich mit der Geschwindigkeit c ausbreiten. Aber wie muss c gemessen werden? Ist es die Geschwindigkeit relativ zur Erde? Oder zur Sonne? Und auf welche Art von Beobachter bezieht sich die Gleichung – nur auf ruhende oder auch auf bewegte? Wenn wir uns mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegen, gelten weiterhin die newtonschen Gesetze, aber ein Beobachter, der sich in dieser Weise bewegt, würde selbstverständlich eine andere Geschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen messen. Zunächst glaubte man, dass c nicht für alle Inertialsysteme gleich sein könne, weil dies ganz offensichtlich dem Additionsgesetz für Geschwindigkeiten aus der newtonschen Mechanik widerspräche. Anders ausgedrückt fehlte den maxwellschen Gleichungen die Symmetrie der newtonschen Mechanik (ausgedrückt durch die Galilei-Transformation), welche besagt, dass sich die gemessenen Geschwindigkeiten entsprechend der Relativgeschwindigkeit zweier Inertialsysteme ändern, wenn man das Inertialsystem wechselt. Maxwells Gedankenblitz schien damit zumindest auf den ersten Blick zu einem Widerspruch zu führen.
Glücklicherweise betrat bald Hendrik Lorentz die Bühne und zeigte einen mathematischen Weg auf, bestimmte Symmetrien der Maxwell-Gleichungen aufzudecken, die sich von denen unterschieden, die man aufgrund der newtonschen Mechanik erwartetet hatte. Die Lorentz-Transformationen lehren uns, wie sich die elektrischen und magnetischen Felder sowie der Ort (x, y, z) und die Zeit t ändern, wenn wir das Bezugssystem wechseln. Das wiederum sorgte dafür, dass die maxwellschen Gleichungen für alle Inertialsysteme gleich aussahen. Mit anderen Worten, er entwickelte die Lorentz-Transformation, im Gegensatz zu der Galilei-Transformation aus der newtonschen Mechanik. Seine Formulierung hatte jedoch bizarre physikalische Implikationen wie beispielsweise die Lorentz-Kontraktion, die Schrumpfung von Längen beim Wechsel zwischen verschiedenen Inertialsystemen. Lorentz stellte insbesondere fest, dass die Schrumpfung der Längen notwendig war, damit die maxwellschen Gleichungen unabhängig von der Geschwindigkeit eines Beobachters relativ zu einem Inertialsystem funktionierten. Er hatte jedoch große Schwierigkeiten, diesen Befund zu erklären, da er erfolglos versuchte, den Effekt auf elektrische Kräfte und andere Begriffe zurückzuführen. Obwohl seine mathematische Theorie wunderbar funktionierte, war er nicht in der Lage, eine schlüssige physikalische Rechtfertigung zu liefern und dachte, sein Konstrukt sei nur auf die elektromagnetische Theorie anwendbar. Eine korrekte Interpretation dessen, was er gefunden hatte, konnte erst Albert Einstein liefern, der auf dieser Grundlage seine spezielle Relativitätstheorie entwickelte.
1.5 Aufbruch in die vierte Dimension: Relativitätstheorie
Auftritt Einstein. Albert Einstein schlug vor, dass das von Lorentz und anderen entdeckte Phänomen nicht spezifisch für den Elektromagnetismus war, sondern ganz allgemein galt. Eine der Konsequenzen dieses radikalen Gedankens war eine kompakte Beziehung zwischen Masse und Energie, die zu einer der bekanntesten Gleichungen in der Geschichte der Wissenschaft wurde:
Einsteins Theorie besagt, dass der Raum und insbesondere die Zeit, die stets als absolut und voneinander verschieden angesehen worden waren, in Wirklichkeit von der Geschwindigkeit des Beobachters abhängen. Darüber hinaus stellte er fest, dass die Lorentz-Transformation eine physikalische Transformation der Raumzeit ist und keinesfalls nur ein mathematischer Trick, der die Maxwell-Gleichungen konsistent macht. Dieser Gedanke stieß anfänglich auf einigen Widerstand unter Physikern, wurde aber inzwischen unwiderlegbar bestätigt. Einsteins spezielle Relativitätstheorie enthielt lineare Transformationen für den Wechsel von einem Inertialsystem zu einem anderen. Insofern war die spezielle Relativitätstheorie mathematisch recht einfach und vielleicht für den Geschmack mancher Physiker – zumindest was ihre mathematische Komplexität betraf – sogar ein wenig langweilig, da sie nur elementare lineare Algebra verwendete. Dies veranschaulicht die Tatsache, dass tiefe physikalische Ideen nicht notwendigerweise mit einem tiefen oder komplizierten mathematischen Formalismus einhergehen müssen; sie müssen nur auf einer selbstkonsistenten Mathematik beruhen.
Abb. 1.4 Nichteuklidische Geometrie: Wenn man Euklids Parallelenaxiom nicht voraussetzt, müssen sich die Innenwinkel von Dreiecken nicht unbedingt zu 180° addieren.
Einstein ging dann noch weiter und begann mit einer erneuten Untersuchung der newtonschen Gravitationstheorie. Georg Friedrich Bernhard Riemann hatte bereits einige Jahrzehnte zuvor eine neue, nach ihm benannte Form der Geometrie eingeführt. Die riemannsche Geometrie, wie der Ansatz genannt wurde, baut nicht auf Euklids fünftem Postulat (dem Parallelenaxiom) auf und lässt dadurch beispielsweise Dreiecke zu, deren Winkelsumme nicht 180° beträgt, sofern nur der Raum, in dem sie sich befinden, gekrümmt ist (siehe Abb. 1.4). Riemanns Doktorvater Johann Carl Friedrich Gauß hatte schon zuvor vermutet, dass solche Phänomene in der realen Welt auftreten und messbar sein könnten. Interessanterweise soll Gauß vorgeschlagen haben, dass unser Universum gekrümmt sei. Einer Legende (deren Wahrheitsgehalt unklar ist) zufolge versuchte er in seiner Zeit als Leiter der Hannoverschen Landesvermessung, die Krümmung des Raums zu messen, indem er drei Winkel eines Dreiecks bestimmte, dessen Scheitelpunkte die Gipfel dreier Berge waren (siehe Abb. 1.5). Er nahm dabei an, dass die Lichtstrahlen, die die Kanten des Dreiecks bildeten, gerade Linien waren, und untersuchte, ob die Winkel zwischen ihnen sich zu 180° addierten. Seine Messungen – falls sie wirklich stattfanden – zeigten, dass die Summe der drei Winkel innerhalb der Fehlergrenzen des Experiments 180° betrug, was darauf hindeutet, dass die Krümmung des Universums, wenn sie denn existierte, zu klein war, als dass er dies erkennen konnte.
Es ist kaum überraschend, dass Riemann auch über physikalische Anwendungen seiner Geometrie spekulierte. Zum Beispiel hoffte er, dass sie dazu dienen könnte, die Theorien der Elektrizität und des Magnetismus mit der Theorie der Schwerkraft zu vereinen. Eine Anwendung der riemannschen Geometrie auf die Physik musste jedoch auf Einsteins Neuformulierung der newtonschen Gravitation und seine Entdeckung eines Analogons der maxwellschen Gleichungen für die Gravitation warten – die allgemeine Relativitätstheorie. Die allgemeine Relativitätstheorie ist eine vollständig geometrische Gravitationstheorie, in der die Bahnen frei fallender Objekte in einem Gravitationsfeld einfach gerade Linien (oder Geodäten) in der gekrümmten Geometrie von Raum und Zeit sind. Sie erscheinen uns ,,gekrümmt“ (als ob die Objekte beschleunigen würden), weil der Raum selbst gekrümmt ist, so wie die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche einer Orange – das Analogon einer geraden Linie – auch gekrümmt ist.
Abb. 1.5 Nach einer (unbestätigten) Legende soll Carl Friedrich Gauß versucht haben, die Krümmung des Raums zu messen, indem er die Winkel in einem Dreieck bestimmte, dessen Ecken durch den Brocken im Harz, den Inselsberg im Thüringer Wald und den Hohen Hagen bei Göttingen gebildet wurden. Der Gedanke war sicherlich einen Versuch wert, auch wenn er dabei keine Abweichung von den nach der euklidischen Geometrie erwarteten 180° beobachten konnte.
Dank Einsteins gut geprüfter Theorie wissen wir heute, dass das Universum tatsächlich gekrümmt ist. Wir wissen auch, dass Gauß zwar auf dem richtigen Weg war, dass aber die Krümmung, die er zu messen versuchte, für die ihm zur Verfügung stehenden experimentellen Mittel zu klein war. Riemann und Gauß waren Mathematiker, aber einige ihrer interessanten mathematischen Erkenntnisse fanden später über Einsteins allgemeine Relativitätstheorie ihren Weg in die
