ihrer komplexen Darstellung verdeckt werden. Tiefgehende Ideen in Physik und Mathematik haben oft einen gemeinsamen Kern, was angesichts der Nähe dieser beiden Disziplinen wenig überraschend ist. Überraschend ist jedoch die Tatsache, dass einige dieser gemeinsamen Gedanken während der Lösung mathematischer Rätsel auftauchen können.
In diesem Buch geht es um Rätsel und ihre Beziehungen zur Mathematik und Physik. Natürlich können Rätsel auch an und für sich faszinierend und unterhaltsam sein. Wir werden in diesem Buch aber vor allem sehen, wie sie als Brücke zwischen den Disziplinen dienen und einige der Verknüpfungen zwischen diesen offenbaren können. Zur Lösung der in diesem Buch vorgestellten Rätsel sind keine fortgeschrittenen Kenntnisse in Mathematik oder Physik erforderlich, und ich gehe auch nicht davon aus, dass Sie in einem dieser Fächer über einen tieferen Hintergrund verfügen. Ein intensives Interesse an diesen Themen sowie einige Grundkenntnisse wären aber sicher hilfreich, um von diesem Buch zu profitieren.
Obwohl Physik und Mathematik eng miteinander verflochten sind, sind ihre Kulturen und Philosophien doch sehr unterschiedlich. Die Mathematik baut auf fundamentalen Axiomen auf und entwickelt daraus mithilfe von logischen Schlussfolgerungen ihr Gedankengebäude. Physikalische Gesetze sollen erklären, wie verschiedene Aspekte der Natur funktionieren und wie die Naturgesetze zusammenpassen, sind aber nicht in hierarchischer Weise logisch voneinander abgeleitet. Die Physik betont eher die praktischen Beziehungen zwischen den Gesetzen als ihre logischen Abhängigkeiten. Natürlich ist der logische Zusammenhalt der Ideen aber ebenfalls ein notwendiger Bestandteil der physikalischen Gesetze. In der Mathematik ist es wichtig, sich jederzeit über die zugrunde liegenden Axiome und Annahmen im Klaren zu sein. Im Gegensatz dazu können sich die Axiome oder Grundprinzipien der Physik, wie wir bald sehen werden, jederzeit ändern, wenn neue Beweise oder theoretische Gedanken ans Licht kommen.
Die Geschichte zeigt, dass Fortschritte in der Physik häufig darauf zurückgehen, dass ein Gedanke, der zunächst als Folge eines physikalischen Gesetzes aufgefasst wurde, zu einem eigenständigen Prinzip erhoben wurde. Ein guter Physiker sollte daher immer offen sein für solche Neuformulierungen oder ,,Umwälzungen“, weil ein solches neu erkanntes Prinzip sich letztlich oft als grundlegender erweist und einen größeren Anwendungsbereich hat als das Gesetz, von dem es ursprünglich abgeleitet war. Ein gutes Beispiel hierfür ist das Prinzip der Impulserhaltung. Es wurde zunächst als Folge der newtonschen Gesetze betrachtet, bevor man später – mehr als 225 Jahre nach der Vorstellung der newtonschen Gesetze in der Principia Mathematica – feststellte, dass die Erhaltungssätze grundlegender sind als die Bewegungsgesetze, weil sie auf die zugrunde liegenden Symmetrien der Natur zurückgehen.
Aus diesem Grund versuchen Physiker, sich eine flexible Einstellung zu der Frage zu bewahren, was genau die grundlegenden Prinzipien sind – eine Einschätzung, die sich ständig weiterentwickelt. Anstatt der hierarchischen Anordnung von Gedanken zu viel Wert beizumessen, sind Physiker bereit, die Anordnung jederzeit neu zu sortieren, was in völligem Gegensatz zu der Art und Weise steht, wie Mathematiker gewöhnlich die Mathematik betrachten. Ein mathematisches Theorem gilt, sofern es sich einmal als richtig erwiesen hat, als ewige Wahrheit – im Gegensatz zu physikalischen Prinzipien, die jederzeit Veränderungen unterworfen sein können, wenn neue empirische Erkenntnisse auftauchen.
Es gibt noch weitere Unterschiede. Zur Erklärung komplizierter Phänomene verwenden Physiker z. B. oft Näherungen, gegen die Mathematiker eine grundsätzliche Abneigung pflegen. Beispielsweise ist die Frage, ob der Raum ,,stetig“ ist, d. h. keinerlei Lücken enthält, oder aus nahe nebeneinander liegenden diskreten Punkten besteht, für Physiker, die sich mit den Ergebnissen von Experimenten auf wesentlich größeren Entfernungsskalen befassen, eher irrelevant. Für Mathematiker hingegen ist die Stetigkeit eines Raums oder ihr Fehlen ein zentraler und entscheidender Punkt und alles andere als irrelevant.
Das Ziel dieses Kapitels ist es, einen kurzen Überblick über die Welt der Physik zu geben. Es handelt sich dabei wirklich nur um einen kurzen und allgemeinen Abriss ohne Anspruch auf eine umfassende Darstellung, die im Rahmen eines einzigen Kapitels ohnehin unmöglich wäre. Stattdessen wollen wir einige Beispiele aus der Geschichte der Physik anreißen, die einen Eindruck davon vermitteln können, wo wir heute in unserem langjährigen Streben nach dem Verständnis der grundlegenden Naturgesetze stehen.
1.1 Die Anfänge der Naturwissenschaft in der Antike
Schon die Griechen versuchten zu verstehen, wie die Welt um sie herum funktionierte, und entwickelten dabei viele faszinierende Ideen über die Physik. Sie liebten die Eleganz der Mathematik und einige Gelehrte – unter ihnen Platon – glaubten, dass die letzte Wahrheit über die Welt in der Geometrie verborgen liege. Sie schätzten die Schönheit der euklidischen Geometrie und der platonischen Körper, von denen sie glaubten, sie könnten als Basis für die Beschreibung der Natur insgesamt dienen. Die meisten ihrer Gedanken zur Mathematik waren ihrer Zeit weit voraus, ihr Verständnis der Physik erreichte jedoch nicht dasselbe Niveau. Aristoteles glaubte z. B., dass Steine nach unten fallen, weil sie gerne auf der Erde liegen. Von allen möglichen Zuständen, argumentierte er, sei derjenige, auf dem Boden zu liegen, den Steinen der liebste. Daraus schloss er, dass Steine um so schneller fielen, je mehr sie sich dem Boden näherten, weil sie froh seien, ihrem natürlichen und bevorzugten Ruheplatz näher zu kommen.1)
Abb. 1.1 Eratosthenes von Kyrene bestimmte um 230 v. Chr. den Umfang der Erde.
Trotz der unzulänglichen Beschreibungen physikalischer Phänomene durch die alten Griechen ist ihr grundlegendes Bestreben, die Welt durch schöne Mathematik zu beschreiben, auch heute noch von entscheidender Bedeutung für die Wissenschaft. Einige ihrer Gedanken, wie z. B. die Vorstellung, dass Materie aus einzelnen Atomen besteht (u. a. von Leukipp und Demokrit weiterentwickelt), haben sich bis heute gehalten. Sie glaubten nicht nur, dass die Erde eine Kugel sei, sondern bestimmten um 230 v. Chr. auch ihren Umfang. Insbesondere Eratosthenes von Kyrene beobachtete, wie sich die Länge eines Schattens ändert, wenn wir uns eine bestimmte Wegstrecke vom äquator entfernen, und berechnete daraus mithilfe einiger trigonometrischer Beziehungen den Radius der Erde. Sein Resultat war nicht allzu weit von dem heute akzeptierten Wert entfernt – der Fehler betrug etwa 15 %. Sein Grundgedanke war dabei, dass der Schatten eines Stockes mit einer Länge von l zur Mittagszeit von null auf s anwächst, wenn man sich um eine Entfernung h senkrecht zum äquator (also entlang eines Meridians) bewegt (siehe Abb. 1.1). Der Radius R der Erde ergibt sich dann aus einfachen trigonometrischen Überlegungen zu
Der Ansatz, Wissen aus der reinen Geometrie zu nutzen, um daraus praktische Erkenntnisse über die Natur zu erhalten, wurde noch lange nach der Zeit der frühen griechischen Mathematiker gepflegt. Um 1000 n. Chr. bestimmten die Astronomen Ibn Muadh und Ibn Al-Haytham die Höhe der Atmosphäre zu etwa 80 km2), was bis auf etwa 20 % dem heute akzeptierten Wert entspricht. Ibn Muadh und einige andere muslimische Wissenschaftler verwendeten für ihre Berechnungen den Einfallswinkel der Sonne in der Dämmerung sowie einfache trigonometrische Funktionen. Ihr Ansatz war recht einfach: Der Grund dafür, dass der Himmel nicht sofort bei Sonnenuntergang dunkel wurde, musste darin liegen, dass die oberen Teile der Atmosphäre auch nach Sonnenuntergang noch Licht von der Sonne empfangen konnten (siehe Abb. 1.2). Wenn man nun misst, wie lange (t als Bruchteil der Länge eines Tages) es dauert, bis das Sonnenlicht ,,ausläuft“ (das sind in der Realität einige Stunden), so die Argumentation von Ibn Muadh, so erhält man daraus die Höhe h der Atmosphäre als Bruchteil des Radius
