los parámetros de forma continua, el período se va doblando una y otra vez, hasta que alcanzamos el comportamiento de la octava gráfica, que no muestra periodicidad: hemos alcanzado el caos determinista. El sistema de videoiteración exhibe lo que los físicos y matemáticos denominan cascada de bifurcaciones. Un comportamiento que estaba presente, de manera simbólica, en la ecuación logística que presentamos al comienzo del ensayo y con la que se suele enseñar en la mayor parte de cursos sobre sistemas dinámicos esta ruta hacia el caos. La sencilla ecuación logística nos desvela un patrón dinámico oculto en muchos sistemas del mundo físico real, un patrón universal.
CAPÍTULO 4
COMPUTA, COOPERA Y RECICLA:
ALIENS Y PRIMOS
La venta de supercomputadoras ha estado sometida a fuertes restricciones comerciales por parte de gobiernos como el de EE. UU. y Japón por sus implicaciones militares. Sus prohibitivos costes han sido un acicate para que los investigadores desarrollaran alternativas de supercómputo basadas en el reciclaje de viejas máquinas o en la cooperación en Internet.
Creo que habrá quedado claro, a estas alturas del presente libro, que la belleza para los matemáticos, como para los artistas, es una fuerte motivación. Muchos matemáticos se calificarían de creadores. En referencia a ello, se cita frecuentemente la siguiente anécdota atribuida al matemático David Hilbert (1862-1943). El gran maestro notó un día que cierto estudiante había dejado de asistir a clase. Cuando le dijeron que éste había decidido abandonar la matemática para convertirse en poeta, Hilbert replicó: «Bueno, no tenía la imaginación suficiente para convertirse en matemático».
En esa línea estético-creativo-imaginativa el famoso matemático G. H. Hardy (1887-1947), conocido popularmente por un libro titulado Apología de un matemático, se jactaba con orgullo de que no había hecho en su vida nada que pudiera considerarse útil. Consideraba todo cuanto hacía una obra de arte realizada con estilo. Hardy fue una eminencia mundial en Teoría de Números, una de las ramas, al menos por aquel entonces, más alejada del mundo real. Desdeñaba la ciencia aplicada. En palabras del matemático:
Se dice que una ciencia es útil cuando sus avances tienden a acentuar las desigualdades existentes en la distribución de la riqueza, o cuando favorecen más directamente la destrucción de la vida humana.
Hardy estaba motivado por criterios estéticos y a su espíritu pacifista le repugnaba en especial las aplicaciones científico-militares. Por suerte no presenció los avances militares en criptografía, basados en la teoría de números primos, tan cara para él. Hoy, en la era de Internet, los primos gigantes son como los diamantes: bellos... y también caros. Se usan para cifrar mensajes en clave pública (RSA), el sistema de contraseñas de comunicaciones más extendido de la red de redes. Por eso la fundación Electronic Frontier ofrece un premio de cien mil dólares a cualquiera que encuentre el primer primo con más de 10 millones de dígitos.
PRIMOS DE MERSENNE
Probablemente esté pensando que para encontrar semejante brutalidad de número primo hará falta un superordenador colosal. Sin duda para tal menester los ordenadores parecen los mineros adecuados y, posiblemente, la mejor mina sean los números de Mersenne, que son aquellos que poseen la forma 2p– 1. Para que un número de Mersenne sea primo, necesariamente p debe ser primo. Pero esta condición necesaria lamentablemente no es suficiente. El monje Marin Mersenne, padre de estos números, hizo la atrevida afirmación en el siglo XVII de que 267–1 era primo. Esta conjetura fue discutida durante más de doscientos cincuenta años. En 1903, Frank Nelson Cole, de la Universidad de Columbia, dio una conferencia sobre el tema en una reunión de la Sociedad Americana de Matemáticas.
Cole –que siempre fue un hombre de pocas palabras– caminó hasta el pizarrón y, sin decir nada, tomó la tiza y comenzó con la aritmética que se usa para elevar 2 a la sexagésima séptima potencia –cuenta Eric Temple Bell, que estaba en el auditorio–. Entonces, cuidadosamente, le restó 1, y obtuvo 147.573.952.589.676.412.927. Sin una palabra pasó a un espacio en blanco del pizarrón y multiplicó a mano 193.707.721 por 761.838.257.287. Las dos cuentas coincidían. La conjetura de Mersenne se desvaneció en el limbo de la mitología matemática. Por primera vez, que se recuerde, la Asociación Nacional de Matemáticas aplaudió vigorosamente al autor de un trabajo presentado ante ella. Cole volvió a su asiento sin haber pronunciado una sola palabra. Nadie le hizo siquiera una pregunta.
Recordemos que en 1903 no existían los ordenadores. Hoy el mayor primo conocido hasta el momento (agosto del 2007) es un número de Mersenne, número 44, y fue descubierto el 4 de septiembre del 2006 por Curtis Cooper y Steven Boone. El número es 232.582.657–1, un número primo de 9.808.358 dígitos. ¡Uy! Casi. El número todavía está por debajo de los 10 millones de dígitos requeridos para ganar el premio. En realidad, la hazaña no es un mérito exclusivo de Cooper y Boone, sino más bien del proyecto gimps (Great Internet Mersenne Prime Search). Más de mil individuos, unidos por su pasión por los números primos, conectan sus ordenadores a través de Internet para dividirse la tarea de encontrar números primos cada vez mayores. Apuntarse al grupo es fácil (<http://www.mersenne.org>) y el posible premio, que está al caer, merece la pena. Y como puede ver, no hace falta tener ningún superordenador personal.
SUPERORDENADORES: JUEGOS DE GUERRA Y PAZ
No sé si Hardy hubiera disfrutado con los hallazgos numéricos en Internet, pero seguro que hubiera abominado de los ensayos nucleares, cuya era parece haber caducado. Bueno, no del todo, si recordamos a Corea del Norte y Francia. ¿Qué pasa con el resto de superpotencias militares del planeta? ¿Siguen realizando ensayos de detonaciones nucleares? La respuesta no sólo es afirmativa, sino que se realizan más que nunca. ¿Se infringen los tratados? ¿Cómo es posible que no se denuncie? Porque las pruebas nucleares se llevan a cabo en el mundo virtual de los ordenadores. Los ejércitos modernos disponen de supercomputadoras capaces de recrear la capacidad destructiva real de las nuevas generaciones de armas nucleares. No es de extrañar, por tanto, que la venta de supercomputadoras haya estado sometida a fuertes restricciones comerciales por parte de gobiernos como el de EE. UU. y Japón.
¿Recuerdan que les hablé de la grave enfermedad que sufrió el matemático S. Ulam? Eso fue en 1946 y Ulam jugó mucho al solitario mientras se recuperaba de la encefalitis.
Después de pasar mucho tiempo tratando de estimar las probabilidades de una combinación particular de cartas con cálculos puramente combinatorios, me pregunté si repartir las cartas unas, digamos, cien veces, no sería un método más práctico que el pensamiento abstracto por sí solo –recordaba el mismo Ulam–. Todo esto ya era concebible con el comienzo de la nueva era de ordenadores más veloces. Inmediatamente me puse a pensar en el problema de la difusión de neutrones y otras preguntas de la física matemática, y más en general, cómo podían cambiarse los procesos descritos por ciertas ecuaciones diferenciales por una forma equivalente interpretable como una sucesión de operaciones al azar.
El método fue bautizado como Método de Montecarlo en honor o en referencia jocosa a un pariente de Ulam, que siempre estaba dando vueltas por las ruletas de Montecarlo. El método actualmente es ampliamente empleado en la investigación cada día más dependiente de los ordenadores. Consiste, en síntesis, en calcular las posibilidades de un evento sin resolver las ecuaciones, simulando el suceso al azar un número elevado de veces en un ordenador.
Así, las supercomputadoras no sólo se emplean para fines militares. Son utilizadas también para prevenir cambios climáticos a corto y largo plazo, para el tratamiento masivo de la información en finanzas o para la seguridad en el comercio electrónico. Sin embargo, para realizar bien estos cometidos,
