inteligencias múltiples y la lógica a este tipo de pensamiento, y se enfatizó la necesidad de evitar la memorización sin sentido de procedimientos metódicos.
Se habló también de la motivación para enseñar matemáticas, que es un componente sine qua non, además de saber de esta ciencia y cómo enseñarla; de la persistencia como fortaleza necesaria para desarrollar el pensamiento matemático; formas de motivar al alumno al pensamiento matemático, hábitos de estudio comunes y propuestas de mejoras. Se señalaron obstáculos y vicios en el aprendizaje de las matemáticas, así como la importancia de las habilidades espaciales para la formación de ingenieros.
En fin, este Coloquio mostró una gran riqueza de aportaciones que, seguramente, redundará en la promoción del pensamiento matemático y en la correcta enseñanza de las matemáticas. Felicidades a todos los participantes por contribuir de manera positiva ante este importante problema de nuestro país. El reto que enfrentamos es llevar todas estas ideas a la práctica cotidiana.
Dra. MariCarmen González Videgaray
Santa Cruz Acatlán, Estado de México, mayo de 2018
Referencias
Ashcraft, M. H. (2002), Math anxiety: Personal, educational, and cognitive consequences, en Current directions in psychological science, 11(5), 181-185.
Boaler, J. (2015), Fluency Without Fear: Research Evidence on the Best Ways to Learn Math Facts. Youcubed. Artículo consultado el 27 de mayo de 2018 en: https://www.wisconsinrticenter.org/assets/Math%20Webinar%205/FluencyWithoutFear-2015.pdf.
__________ (s/d). What is number sense? Video consultado el 26 de mayo de 2018 en: https://www.youcubed.org/resources/what-is-number-sense/ .
Devlin, K. (2012), What is mathematical thinking? en el blog: Devlin’s Angle. Consultado el 27 de mayo de 2018 en: http://devlinsangle.blogspot.mx/2012/08/what-is-mathematical-thinking.html.
Lockhart, P. (s/d), A Mathematician’s Lament. Libro electrónico consultado el 26 de mayo de 2018 en: (https://www.maa.org/external_archive/devlin/LockhartsLament.pdf .
SUMEM UNAM. (2012), Seminario Universitario para la Mejora de la Educación Matemática en la UNAM. Consultado el 27 de mayo de 2018 en: http://www.sumem.unam.mx/acerca_de
ASPECTOS RELEVANTES PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Javier Bracho Carpizo
Doy inicio a esta charla con el siguiente comentario: motivados por el SUMEM, el Dr. José Luis Abreu y yo hemos trabajado, ya durante varios años, analizando qué es lo que debemos enseñar. Sin embargo, del tema “el pensamiento matemático”, que considero de vital importancia, puedo decir en un principio: es como una práctica individual. Más que aprender, es algo que debe experimentarse. Por ende, surge la pregunta: ¿cómo abordar problemas y usar herramientas en matemáticas?
Es una manera diferente de pensar en matemáticas, y esta manera de pensar ha ido cambiando históricamente. Ahora estamos viviendo un momento de grandes cambios y hay muchas influencias; en esta charla hablaré de algunas de ellas.
Cuando se plantea un problema hay diferentes formas de resolverlo y eso, definitivamente, enriquece su entendimiento; desde este punto de vista voy a tratar dos aspectos.
Por ejemplo: ¿qué pasa con la enseñanza de la geometría? Se encuentra muy apegada a un esquema estrictamente histórico muy rígido, que nos hace sentir que la geometría se acabó cuando llegó Descartes y desarrolló la geometría analítica, y nos hicieron pelear con unas ecuaciones para determinar a las elipses y a las hipérbolas. Pero antes de eso estuvieron los griegos… es lo que nos enseñan. Lo que quiero mostrar hoy es que no tiene que ser así, pero estamos muy acostumbrados a enseñar lo que nos enseñaron. Creo que esto es un error, y eso nos sucede históricamente. No habría evolución del conocimiento, cada generación tiene que llegar más rápido que la anterior a la frontera del conocimiento, y eso implica que debemos cambiar lo que enseñamos y cómo enseñamos. Finalmente, lo último que quiero comentar es que todos nuestros programas, hasta ahora que apareció el SUMEM, están enfocados en el bachillerato, es decir, a llevarnos al cálculo como si el cálculo fuera lo máximo de la creación en matemáticas, y cuando llegamos al cálculo como algo acabado, esto resulta no ser cierto: las matemáticas han seguido y el cálculo es algo que se inventó hace muchos siglos.
En el siglo XIX hubo algo que se llamó la geometría no euclidiana, y siglos más atrás se descubrió la perspectiva, y eso no aparece en nuestros programas de estudio. Son dos hechos que involucran a la matemática de manera fundamental y no sólo eso, las geometrías no euclidianas influyeron en la física de una manera profunda, pero los alumnos salen del bachillerato sin haber tenido nunca una clase sobre geometría no euclidiana o perspectiva, desde el punto de vista matemático.
La geometría que hicieron los griegos realmente surgió milenios antes como técnica, con los babilonios. Los matemáticos babilonios eran geniales. Había unas tablas maravillosas de ternas, que ahora llamamos ternas pitagóricas, y eso era hacer matemáticas: descubrir ternas pitagóricas, por ejemplo, 3, 4 y 5 que hacen el ángulo recto, entonces había muchas ternas pitagóricas, que era lo que sabían los egipcios. Había también tablas para medir ángulos que hicieron para las pirámides. Milenios después llegan los griegos y usan toda esa tecnología, digamos, para hacer teoría. Y eso es lo que llamamos geometría. Lo mismo pasa en el Renacimiento: los pintores descubren la técnica de perspectiva y la entienden como entendemos el mundo, porque ésta se basa en el principio de proyección, que es como se pintan los cuadros; pero, por otro lado, la evolución había diseñado el ojo. El ojo funciona precisamente con el principio de proyección: deja pasar aquellos rayos de luz que pasan por un punto, y se proyectan en una pantalla llamada retina. Entonces, ese principio de proyección por un punto en la línea está en una pantalla llamada retina, y luego el “cableado” del cerebro hace que la información que tiene la retina sea lo que entendemos por el mundo. Siempre estamos viendo proyecciones. Pero no es hasta cuando se incorporan en las matemáticas en el siglo XIX, con Morris Kline, que en la geometría proyectiva se encuentran las tres geometrías no euclidianas. El plano hiperbólico, dentro de la geometría proyectiva, es algo muy importante hoy, porque en ésta se basa toda la industria del cine y la de los videojuegos. Todos los programas de animación utilizan geometría proyectiva. Por tanto es algo de lo más actual, que deberíamos saber; sin embargo, casi nadie sabe nada de esto, pareciera que le tenemos miedo.
Se pueden mostrar algunas construcciones muy simples, por ejemplo: la construcción del armónico. Esta construcción se realiza en “Geogebra”, que es un programa muy sencillo que diseñó Markus Hohenwarter.
También podemos ver la reflexión armónica, una vez hecha la construcción anterior. Construcciones que con lápiz y papel son muy difíciles de mostrar, puesto que estamos trabajando en la tercera dimensión. En este contexto podemos hablar de una demostración geométrica, en donde intervienen muchos conceptos matemáticos como las proyecciones, la reflexión, el infinito, etcétera.
Es maravilloso poder utilizar hoy en día estos recursos para una mejor comprensión e interpretación, con algo totalmente diferente que simplemente la pura abstracción. Espero haber contribuido con un granito de arena para motivar su
