участвует сразу в двух движениях: скользит и вращается. Из-за векторного сложения поступательного и вращательного движения разные части кольца движутся относительно поверхности в разные стороны (нарисуйте колечко, представьте, как оно движется, и убедитесь, что разные участки действительно в данный момент скользят по поверхности в разных направлениях). Поэтому выберите вначале какой-то маленький участок на кольце и сосчитайте силу трения, действующую именно на это место. Подумайте, как влияет эта сила на вращательное и поступательное движение, и попытайтесь усреднить эти два влияния по всему кольцу.
После этого проанализируйте формулы для трех случаев: когда скорости вращения и движения совпадают, а также когда скорость вращения очень мала или, наоборот, очень велика по сравнению с поступательным движением. Это наведет вас на мысль, как ответить на вопрос задачи.
Рассмотрим участок кольца, который находится под углом α к направлению движения (рис. 2). Пусть в данный момент времени скорость центра масс кольца равна v, а скорость вращения обода u = ωR, где ω – угловая скорость вращения в данный момент, а R – радиус кольца. Этот кусочек кольца участвует в поступательном и вращательном движении. Его скорость относительно поверхности показана на рисунке серой стрелкой. Она составляет угол β с направлением поступательного движения, причем
Рис. 2. Скорости и силы на маленьком участке кольца
Эти выражения выглядят громоздкими, но они получаются из обычных формул сложения двух векторов скоростей.
Сила трения, действующая на этот участок, по модулю равна F = μmg (здесь m – масса участка кольца) и направлена в противоположную от скорости сторону. У этой силы есть проекция на направление поступательного движения, – F cos β, и проекция на касательную к кольцу, которая притормаживает вращение, – F sin (β – α). Не стесняясь, подставим сюда выражения для синуса и косинуса угла β, а также учтем, что sin (β – α) = sin β cos α – cos β sin α:
У этой силы есть также проекция вбок, то есть перпендикулярно поступательному движению, но при усреднении по всему кольцу эта проекция обнулится. В этом можно убедиться математически, если рассмотреть второй участок, находящийся под углом π – α. Для него построение аналогичное, две притормаживающие проекции будут такими же, а сила вбок – ровно противоположная.
Для того чтобы посчитать эффект для всего кольца в целом, надо сложить эти силы по всему кольцу, то есть учесть элементы кольца, расположенные под всеми углами α. Это даст нам два ускорения, притормаживающих поступательное движение и вращение:
Угловые скобки обозначают усреднение по всем углам α; это последствие того, что мы общую силу поделили на общую массу. При желании его можно выразить через интегралы, но это не обязательно.
Заметьте интересную особенность полученных формул: при
